Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f0=1 và 5∫01f'xfx2+125dx≤2∫01f'xfxdx. Tích phân ∫01fx3dx A. 2533 B. 54 C. 12 D. 5350

Đáp án D 5∫01f'xfx2+125dx≤2∫01f'xfxdx⇔5∫01f'xfx2dx+15≤2∫01f'xfxdx Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: ⇒∫01f'xfxdx2≤∫01dx.∫01f'xfx2dx ⇒5∫01f'xfxdx2+15≤2∫01f'xfxdx⇔5∫01f'xfxdx−152≤0⇔∫01f'xfxdx=15 Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi: ∫01f'xfxdx=15f'xfx=k⇒k=15 ⇒∫f'xf2xdx=∫125dx=125x+C⇒fx33=125x+C⇔fx=325x+3C3f0=1⇒3C=1⇒fx=325x+13⇒∫01fx3dx=∫01325x+1dx=5350

Câu hỏi:

05/06/2022 188

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (0) = 1$ và $5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x$ . Tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x$

A. $\frac{25}{33}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{53}{50}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

\begin{array}{l} 5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \\ \Leftrightarrow 5 \int_{0}^{1} f' (x) {[f (x)]}^{2} d x + \frac{1}{5} \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \end{array}

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\Rightarrow {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} d x . \int_{0}^{1} f' (x) {[f (x)]}^{2} d x

\begin{array}{l} \Rightarrow 5 {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x)}^{2} + \frac{1}{5} \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \\ \Leftrightarrow 5 {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x - \frac{1}{5})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x = \frac{1}{5} \end{array}

Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi:

\{\begin{matrix} \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x = \frac{1}{5} \\ \sqrt{f' (x)} f (x) = k \end{matrix} \Rightarrow k = \frac{1}{5}

\begin{array}{l} \Rightarrow \int f' (x) f^{2} (x) d x = \int \frac{1}{25} d x = \frac{1}{25} x + C \\ \Rightarrow \frac{{[f (x)]}^{3}}{3} = \frac{1}{25} x + C \Leftrightarrow f (x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25} x + 3 C} \\ f (0) = 1 \Rightarrow 3 C = 1 \Rightarrow f (x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25} x + 1} \Rightarrow \int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x = \int_{0}^{1} (\frac{3}{25} x + 1) d x = \frac{53}{50} \end{array}

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng $(O x y)$ , cách đều ba điểm $A (2, - 3, 1), B (0; 4; 3), C (- 3; 2; 2)$ có tọa độ là:

A. $(\frac{17}{25}; \frac{49}{50}; 0)$

B. $(- 3; - 6; 7)$

C. $(- 1; - 13; 14)$

D. $(\frac{4}{7}; \frac{13}{14}; 0)$

Xem đáp án » 05/06/2022 7,111

Câu 2:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , $y = x^{3}$ trục Ox , x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

A. $π$

B. $2 π$

C. $\frac{6 π}{7}$

D. $\frac{2 π}{7}$

Xem đáp án » 05/06/2022 4,444

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(-3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM là:

A. $2 \sqrt{7}$

B. $\sqrt{29}$

C. $3 \sqrt{3}$

D. $\sqrt{30}$

Xem đáp án » 05/06/2022 4,033

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho $A M = \sqrt{5}$ . Tọa độ của điểm M là

A. $M (0; 0; 3)$

B. $M (0; 0; 2)$

C. $M (0; 0; - 3)$

D. $M (0; 3; 0)$

Xem đáp án » 05/06/2022 3,349

Câu 5:

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ bằng:

A. -1

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án » 04/06/2022 2,143

Câu 6:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{3}{x^{2}}$ là :

A. $x^{2} - \frac{3}{x} + C$

B. $x^{2} + \frac{3}{x^{2}} + C$

C. $x^{2} + 3 \ln x^{2} + C$

D. $x^{2} + \frac{3}{x} + C$

Xem đáp án » 04/06/2022 2,057

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh $A (- 4; 9; - 9), B (2; 12; - 2)$ và C( -m- 2; 1- m; m + 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3

B. m = -3

C. m = 4

D. m = -4

Xem đáp án » 05/06/2022 1,878

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (0) = 1$ và $5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x$ . Tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x$

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng $(O x y)$ , cách đều ba điểm $A (2, - 3, 1), B (0; 4; 3), C (- 3; 2; 2)$ có tọa độ là:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , $y = x^{3}$ trục Ox , x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(-3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho $A M = \sqrt{5}$ . Tọa độ của điểm M là

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ bằng:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{3}{x^{2}}$ là :

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh $A (- 4; 9; - 9), B (2; 12; - 2)$ và C( -m- 2; 1- m; m + 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f0=1 và 5∫01f'xfx2+125dx≤2∫01f'xfxdx. Tích phân ∫01fx3dx

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đều ba điểm A2,−3,1, B0;4;3, C−3;2;2 có tọa độ là:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , y=x3 trục Ox , x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(-3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM=5. Tọa độ của điểm M là

Tích phân I=∫0π2sinxdx bằng:

Nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+3x2 là :

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(−4;9;−9),B(2;12;−2) và C( -m- 2; 1- m; m + 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (0) = 1$ và $5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x$ . Tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x$

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng $(O x y)$ , cách đều ba điểm $A (2, - 3, 1), B (0; 4; 3), C (- 3; 2; 2)$ có tọa độ là:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , $y = x^{3}$ trục Ox , x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho $A M = \sqrt{5}$ . Tọa độ của điểm M là

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ bằng:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{3}{x^{2}}$ là :

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh $A (- 4; 9; - 9), B (2; 12; - 2)$ và C( -m- 2; 1- m; m + 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.