Cho hàm số f(x)  liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(x\right) + f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x\right) = \frac{1}{3}\frac{\sin x}{\cos x (8{\cos }^{3}x +1)}$. Biết tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng $I = \frac{a}{b}\ln \frac{c}{d}$  và các phân số là các phân số tối giản. Tính $S = a^3+ab-c+d$

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2)=1 và ${\int }_1^{2}F\left(x\right)dx = 5$. Tính $I = {\int }_1^2(x-1)f\left(x\right)dx$

Cho hàm số $y = a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng  28/5     (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=-1; x = 0 có diện tích bằng:

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1) + F(2) = 43.Tính F(2).

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \cos x\sqrt{\sin x + 1}$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = ax + \frac{b}{x^2}$,biết rằng F(-1) = 1; F(1) = 4; f(1) = 0

Biết $I = {\int }_1^5\frac{\sqrt{2x-1}}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx = a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5}$. Khi đó, giá trị $P = a^2-ab+2c$

Biết  ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x+1}dx = \frac{-1}{m} + n\ln 2$, với m, n là các số nguyên. Tính m + n