Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C)  của hàm số $y=\frac{x+3}{x-3},$  độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

Đáp án C

Điều kiện:  $x\ne 3.$     

Ta có  $y=\frac{x+3}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}.$

Đồ thị hàm số  có tiệm cận đứng $x=3$  và tiệm cận ngang  $y=1.$

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị (C) là  $I(3;1).$

Với $A,B\in \left(C\right)$  và A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị (C)

Để AB nhỏ nhất thì A; I; B thẳng hàng hay I là trung điểm của AB.

Gọi $A(x_A;1+\frac{6}{x_A-3});B(x_B;1+\frac{6}{x_B-3})$  thuộc đồ thị .

Vì  là trung điểm của AB nên  $x_A+x_B=2x_1\iff x_A+x_B=6\iff x_B=6-x_A$

Suy ra  

 $AB=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(\frac{6}{x_B-3}-\frac{6}{x_A-3})}^2}$

$=\sqrt{{(6-2x_A)}^2+{(\frac{6}{3-x_A}-\frac{6}{x_A-3})}^2}=\sqrt{4{(x_A-3)}^2+\frac{144}{{(x_A-3)}^2}}$

Ta có $A{B}^2=4{(x_A-3)}^2+\frac{144}{{(x_A-3)}^2}\ge 2\sqrt{4{(x_A-3)}^2.\frac{144}{{(x_A-3)}^2}}=48$  (áp dụng BĐT Côsi)