Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=2a , $\widehat{BAC}=120°$ . Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp A'.BB'C'C là

Đáp án D

Ta có AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc $\widehat{SCA}$ .

 $\widehat{SCA}=45°\Rightarrow SA=AC.\tan 45°=a\sqrt{2}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}{a}^2.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của AA'.

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6+3}=3=A^{\text{'}}C$ .

Do đó tam giác AA'C cân tại C.

Dựng $A^{\text{'}}E\perp AC$  , do $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$  vuông góc với đáy nên $A^{\text{'}}E\perp \left(ABCD\right)$ .

Lấy $F\in AB$  sao cho $FE\perp AC$  , mà $FE\perp A^{\text{'}}E$  nên $FE\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ , suy ra $FE\perp A{A}^{\text{'}}$ .

Dựng $EG\perp A{A}^{\text{'}}$  mà $FE\perp A{A}^{\text{'}}$   nên $FG\perp A{A}^{\text{'}}$ .

Do đó góc giữa mặt phẳng $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$  và  $\left(A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B\right)$ là góc $\widehat{EGF}$  .

Ta có $\tan \widehat{EGF}=\frac{EF}{EG}=\frac{3}{4}\Rightarrow EG=\frac{4}{3}EF$  mà $\tan \widehat{EAF}=\frac{EF}{EA}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF$

Từ đó suy ra  $\sin \widehat{GAE}=\frac{GE}{AE}=\frac{\frac{4}{3}EF}{\sqrt{2}EF}=\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{MC}{AC}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}$

$AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=2$

Ta có $\sin \widehat{GAE}=\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{A^{\text{'}}E}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}E}{2}\Rightarrow A^{\text{'}}E=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  là  $V=A^{\text{'}}E.AB.BC=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$