Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3. a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng x0+x12;y...

a) Vì (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên: a1x0+b1y0+c1z0=d1a2x0+b2y0+c2z0=d2a3x0+b3y0+c3z0=d3 và a1x1+b1y1+c1z1=d1a2x1+b2y1+c2z1=d2a3x1+b3y1+c3z1=d3 ⇒a1x0+b1y0+c1z0+a1x1+b1y1+c1z1=2d1a2x0+b2y0+c2z0+a2x1+b2y1+c2z1=2d2a3x0+b3y0+c3z0+a3x1+b3y1+c3z1=2d3 ⇒a1x0+x1+b1y0+y1+c1z0+z1=2d1a2x0+x1+b2y0+y1+c2z0+z1=2d2a3x0+x1+b3y0+y1+c3z0+z1=2d3 ⇒a1x0+x12+b1y0+y12+c1z0+z12=d1a2x0+x12+b2y0+y12+c2z0+z12=d2a3x0+x12+b3y0+y12+c3z0+z12=d3 Mặt khác do (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) phân biệt nên x0+x12;y0+y12;z0+z12 cũng đôi một phân biệt với (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1). Do đó x0+x12;y0+y12;z0+z12 cũng là một nghiệm của hệ. b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3. có (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này. Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), ..., (xn; yn; zn). Ta chọn ra hai nghiệm (xi; yi; zi) và (xj; yj; zj) thoả mãn xi và xj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x0; x1; ...; xn}. Khi đó, áp dụng câu a) ta được xi+xj2;yi+yj2;zi+zj2 cũng là một nghiệm của hệ. Mặt khác xi+xj2 khác xi, xj và xi+xj2< max{xi, xj} nên xi+xj2 không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí). Vậy hệ này có vô số nghiệm.

Câu hỏi:

12/07/2024 4,868

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$ .

a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\{\begin{cases} a_{1} x_{0} + b_{1} y_{0} + c_{1} z_{0} = d_{1} \\ a_{2} x_{0} + b_{2} y_{0} + c_{2} z_{0} = d_{2} \\ a_{3} x_{0} + b_{3} y_{0} + c_{3} z_{0} = d_{3} \end{cases}$ và $\{\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} + c_{1} z_{1} = d_{1} \\ a_{2} x_{1} + b_{2} y_{1} + c_{2} z_{1} = d_{2} \\ a_{3} x_{1} + b_{3} y_{1} + c_{3} z_{1} = d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} (a_{1} x_{0} + b_{1} y_{0} + c_{1} z_{0}) + (a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} + c_{1} z_{1}) = 2 d_{1} \\ (a_{2} x_{0} + b_{2} y_{0} + c_{2} z_{0}) + (a_{2} x_{1} + b_{2} y_{1} + c_{2} z_{1}) = 2 d_{2} \\ (a_{3} x_{0} + b_{3} y_{0} + c_{3} z_{0}) + (a_{3} x_{1} + b_{3} y_{1} + c_{3} z_{1}) = 2 d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} (x_{0} + x_{1}) + b_{1} (y_{0} + y_{1}) + c_{1} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{1} \\ a_{2} (x_{0} + x_{1}) + b_{2} (y_{0} + y_{1}) + c_{2} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{2} \\ a_{3} (x_{0} + x_{1}) + b_{3} (y_{0} + y_{1}) + c_{3} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{1} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{1} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{1} \\ a_{2} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{2} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{2} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{2} \\ a_{3} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{3} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{3} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{3} \end{cases}$

Mặt khác do (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) phân biệt nên $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng đôi một phân biệt với (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1).

Do đó $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$ .

có (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), ..., (xn; yn; zn).

Ta chọn ra hai nghiệm (xi; yi; zi) và (xj; yj; zj) thoả mãn xi và xj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x0; x1; ...; xn}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $(\frac{x_{i} + x_{j}}{2}; \frac{y_{i} + y_{j}}{2}; \frac{z_{i} + z_{j}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ khác xi, xj và $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ < max{xi, xj} nên $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Số tiền tổng cộng là 820 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 820 (1).

– Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, suy ra $\frac{1}{2} x - y = 5$ hay x – 2y = 10 (2).

– Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng, suy ra z – y = 210 hay –y + z = 210 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y + z = 820 \\ x - 2 y = 10 \\ - y + z = 210 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 310, y = 150, z = 360.

Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng.

Câu 2

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng, suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra 108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X, suy ra x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y + z = 2,8 \\ 108 x + 105 y + 112 z = 301,8 \\ x - y = 0,2 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

Câu 3