Cho tổng Sn = 11.2+12.3+...+1nn+1. a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tồng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,762

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} .$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) S1 = $\frac{1}{1 (1 + 1)} = \frac{1}{2},$ S2 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{2}{3},$ S3 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = \frac{3}{4} .$

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn = $\frac{n}{n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S1 = $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk = $\frac{k}{k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Sk + 1 = $\frac{k + 1}{(k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Sk + 1 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}$

= Sk + $\frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}$

= \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}

= \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k (k + 2) + 1}{(k + 1) (k + 2)}

= \frac{k^{2} + 2 k + 1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2} = \frac{k + 1}{(k + 1) + 1} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 9,321

Câu 2:

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,116

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + abⁿ^–2 + bⁿ^{– 1}).

Xem đáp án » 12/07/2024 1,842

Câu 4:

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,638

Câu 5:

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,467

Câu 6:

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Xem đáp án » 12/07/2024 825

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho tổng Sn = 11.2+12.3+...+1nn+1. a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tồng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Nhà sách VIETJACK:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1); b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = nn+12n+16.

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1).

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là nn−32.

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ. a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n; b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41. a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố. b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} .$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + abⁿ^–2 + bⁿ^{– 1}).

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.