Câu hỏi:

12/07/2024 10,305

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = nn+12n+16.

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.1 = 1(1 + 1).                                                    

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                    

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)                                                       

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1)

= k(k + 1) + 2(k+1) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 1].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 12 = 11+12.1+16.                                          

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                    

12 + 22 + 32 +... + k2 = kk+12k+16.                                       

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

12 + 22 + 32 +... + k2 + (k + 1)2 = k+1k+1+12k+1+16.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

12 + 22 + 32 +... + k2 + (k + 1)2

= (k + 1)2  + kk+12k+16

=6k+126+kk+12k+16
=k+166k+1+k2k+1
=k+162k2+7k+6
=k+16k+22k+3
=k+16k+1+12k+1+1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng nếu x > 1 thì (1 + x)n ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,394

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2, ta có đằng thức:

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,005

Câu 3:

Cho tổng Sn 11.2+12.3+...+1nn+1.

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tồng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,911

Câu 4:

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là nn32.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,856

Câu 5:

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,565

Câu 6:

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Xem đáp án » 12/07/2024 953

Bình luận


Bình luận