Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh  và BC sao cho $M{A}^{\text{'}}=M{B}^{\text{'}}$   và $NB=2NC$ . Mặt phẳng $\left(DMN\right)$  chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , $V_{\left(H^{\text{'}}\right)}$  là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{\left(H^{\text{'}}\right)}}$   bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ , hàm số  $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ $(a,b,c\in ℝ)$ Scó đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g\left(x\right)=f\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng (d)  : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng$a\sqrt{3}$ , $\widehat{BAD}=60°$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng 45°. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OG và AD bằng

Cho hình phẳng $\left(H\right)$  giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x^2-x-1$  và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay $\left(H\right)$   quanh trục hoành bằng

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích $V=\frac{1}{6}$ , góc $\widehat{ACB}=45°$  và $AD+BC+\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$  . Hỏi độ dài cạnh CD?

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, $AB=a$ ,$B{B}^{\text{'}}=a\sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$  và mặt phẳng $\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$   bằng