Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+m}{x-1}$ . Tính tổng các giá trị của tham số m để $|\underset{x\in [2;3]}{\max }f\left(x\right)-\underset{x\in [2;3]}{\min }f\left(x\right)|=2|$  .

Đáp án A

Điều kiện: $x\ne 1$  . Ta có: $y\text{'}=\frac{-2-m}{{(x-1)}^2}$ .

TH1: $y\text{'}>0\iff -2-m>0\iff m<-2$  suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$  nên hàm số đồng biến trên $(2;3)$  .

Suy ra $\underset{[2;3]}{\max }y=y\left(3\right)=\frac{6+m}{2};\underset{[2;3]}{\min }y=y\left(2\right)=4+m$ .

Theo đề bài, ta có: $|\frac{6+m}{2}-(4+m)|=2\iff |-2-m|=4\iff [\begin{array}{l}m+2=4\\ m+2=-4\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=2\left(ktm\right)\\ m=-6\left(tm\right)\end{array}$ .

TH2:  $y\text{'}<0\iff -2-m<0\iff m>-2$suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng$(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$  xác định nên hàm số nghịch biến trên $(2;3)$ .

Suy ra $\underset{[2;3]}{\min }y=y\left(3\right)=\frac{6+m}{2};\underset{[2;3]}{\max }y=y\left(2\right)=4+m$ .

Từ yêu cầu ta có: $|4+m-\frac{6+m}{2}|=2\iff |2+m|=4\iff [\begin{array}{l}m+2=4\\ m+2=-4\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=2\left(ktm\right)\\ m=-6\left(tm\right)\end{array}$ .

Vậy $m=2;m=-6$  nên tổng các giá trị của m là $2+(-6)=-4$ .