Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng $(A\text{'}BC)$  và mặt phẳng $\left(ABC\right)$  bằng $45°$ . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

Đáp án B

Gọi $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$  là vectơ pháp tuyến của (P).

Do $\left(P\right)//Ox$  và  $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$nên $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\perp \overrightarrow{i}\\ \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\perp \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\end{array}$ .

Ox có vectơ pháp tuyến$\overrightarrow{i}=(1;0;0)$  và $\left(Q\right):x+2y-2z+1=0$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=(1;2;-2)$ .

Ta có $[\overrightarrow{i},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}]=(0;2;2)$  nên chọn $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(0;1;1)$ .

$\left(P\right)$ đi qua $A(0;-1;2)$  và nhận $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(0;1;1)$   làm vectơ pháp tuyến nên

$\left(P\right):0(x-0)+1(y+1)+1(z-2)=0\iff y+z-1=0$.

Đáp án C

Ta có $A(1;2;3),B(-1;4;1)\Rightarrow I(0;3;2)$   là trung điểm AB và $AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ .

Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm $I(0;3;2)$  và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}$  .

$\Rightarrow \left(S\right):{(x-0)}^2+{(y-3)}^2+{(z-2)}^2=3$ hay  $\left(S\right):x^2+{(y-3)}^2+{(z-2)}^2=3$ .