Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$  có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn $A{B}_1$  và  $B{C}_1$sao cho  luôn tạo với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$  một góc 60° (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn MN là

Đáp án C

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ ta có

$A(0;0;0),B(0;1;0),D(1;0;0),C(1;1;0),A_1(0;0;1),C_1(1;1;1)$

Ta có $\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{A{B}_1},(0<m<1)\Rightarrow M(0;m;m)$  ;

$\overrightarrow{BN}=n\overrightarrow{B{C}_1},(0<n<1)\Rightarrow N(n;1;n)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}(n;1-m;n-m)\Rightarrow M{N}^2=n^2+{(1-m)}^2+{(n-m)}^2$

MN tạo với mặt phẳng $\left(ABCD\right)\equiv \left(Oxy\right)$  góc 60°

$\Rightarrow \sin 60°=\frac{|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{k}|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}\iff \frac{|n-m|}{\sqrt{n^2+{(1-m)}^2+{(n-m)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff {(n-m)}^2=3[n^2+{(1-m)}^2]\ge 3.\frac{{(n-m+1)}^2}{2}=\frac{3}{2}[{(n-m)}^2+2(n-m)+1]$

$\iff {(n-m)}^2+6(n-m)+3\le 0\iff -3-\sqrt{6}\le n-m\le -3+\sqrt{6}\Rightarrow 3-\sqrt{6}\le |n-m|\le 3+\sqrt{6}$

$\Rightarrow MN=\sqrt{n^2+{(1-m)}^2+{(n-m)}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}|n-m|\ge \frac{2\sqrt{3}}{3}(3-\sqrt{6})=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ $\Rightarrow \min MN=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$khi $m=\frac{4-\sqrt{6}}{2},n=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$ .