Câu hỏi:

15/06/2022 1,284

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn $A B_{1}$ và $B C_{1}$ sao cho luôn tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc 60° (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn MN là

\frac{\sqrt{3}}{3}

2 (\sqrt{2} - 1)

2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})

D. $\sqrt{3} - 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn AB1 và BC1 sao cho luôn tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn là (ảnh 2)

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ ta có

$A (0; 0; 0), B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C (1; 1; 0), A_{1} (0; 0; 1), C_{1} (1; 1; 1)$

Ta có $\vec{A M} = m \vec{A B_{1}}, (0 < m < 1) \Rightarrow M (0; m; m)$ ;

$\vec{B N} = n \vec{B C_{1}}, (0 < n < 1) \Rightarrow N (n; 1; n)$

$\Rightarrow \vec{M N} (n; 1 - m; n - m) \Rightarrow M N^{2} = n^{2} + {(1 - m)}^{2} + {(n - m)}^{2}$

MN tạo với mặt phẳng $(A B C D) \equiv (O x y)$ góc 60°

$\Rightarrow \sin 60 ° = \frac{| \vec{M N} . \vec{k} |}{| \vec{M N} | . | \vec{k} |} \Leftrightarrow \frac{| n - m |}{\sqrt{n^{2} + {(1 - m)}^{2} + {(n - m)}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow {(n - m)}^{2} = 3 [n^{2} + {(1 - m)}^{2}] \geq 3. \frac{{(n - m + 1)}^{2}}{2} = \frac{3}{2} [{(n - m)}^{2} + 2 (n - m) + 1]$

$\Leftrightarrow {(n - m)}^{2} + 6 (n - m) + 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 - \sqrt{6} \leq n - m \leq - 3 + \sqrt{6} \Rightarrow 3 - \sqrt{6} \leq | n - m | \leq 3 + \sqrt{6}$

$\Rightarrow M N = \sqrt{n^{2} + {(1 - m)}^{2} + {(n - m)}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} | n - m | \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3} (3 - \sqrt{6}) = 2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ $\Rightarrow \min M N = 2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ khi $m = \frac{4 - \sqrt{6}}{2}, n = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy $(A B C), S A = a \sqrt{2}$ . Đáy ABC vuông tại A, $A B = a, A C = 2 a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

a^{3} \sqrt{2}

\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

Lời giải

Đáp án A

Thể tích khối chóp S.ABC tính theo công thức: $V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . a \sqrt{2} . \frac{1}{2} a .2 a = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB=BC=1 , AD=2 . Các mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 độ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

2 \sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

Lời giải

Đáp án B

Vì các mặt chéo $(S A C)$ và $(S B D)$ cùng vuông góc với mặt đáy $(A B C D)$ nên $S O ⊥ (A B C D)$ với $S O ⊥ (A B C D)$ .

Kẻ $O K ⊥ A B$ tại K

$\Rightarrow (S O K) ⊥ A B \Rightarrow S K ⊥ A B$

$\Rightarrow ((S A B), (A B C D)) = (S K, O K) = \hat{S K O} = 60 °$

Do $A D // B C$ nên $\frac{O D}{O B} = \frac{O A}{O C} = \frac{A D}{B C} = 2$

$\Rightarrow D B = 3 O B \Rightarrow d (D, (S A B)) = 3 d (O, (S A B))$

Trong mặt phẳng $(S O K)$ , kẻ $O H ⊥ S K$ tại H

$\Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (D, (S A B)) = 3 d (O, (S A B)) = 3 O H$

Trong tam giác vuông $Δ S O K : \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O K^{2}} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3 \Rightarrow O H = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $T = a b + 1 = 2 (- 1) + 1 = - 1$ .

Câu 3

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB=a, BC=2a , A'B vuông góc với mặt phẳng (ABC) và góc giữa A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 30 độ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' .

\frac{a^{3}}{3}

3 a^{3}

a^{3}

\frac{a^{3}}{6}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + y + 2 z - 1 = 0$ . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(P)$ bằng

A. 60°.

B. 30°.

C. 45°.

D. 90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số $y = f (3 - e^{x})$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

(- \infty; 1)

(2; + \infty)

(\ln 2; \ln 4)

(\ln 2; 4)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ

Để phương trình $e^{f^{3} (x) + 2 f^{2} (x) - 7 f (x) + 5} + \ln [f (x) + \frac{1}{f (x)}] = m$ có nghiệm thì giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m là bao nhiêu?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R . Biết f'(-2)=-8, f'(1)=4 và đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số y=2f(x-3)+16x+1 đạt giá trị lớn nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây?

(0; 4)

(4; + \infty)

(- \infty; 1)

(- 2; 1)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học