Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy$\left(ABC\right),SA=a\sqrt{2}$  . Đáy ABC vuông tại A, $AB=a,AC=2a$  (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Đáp án C

Ta có $\begin{array}{l}{A}^{\text{'}}C\cap \left(ABC\right)=C\\ A^{\text{'}}B\cap \left(ABC\right)\end{array}\}\Rightarrow (A^{\text{'}}C;\left(ABC\right))=\widehat{A^{\text{'}}CB}=30°$

ABC là tam giác vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác  vuông tại B có: $\tan 30°=\frac{A^{\text{'}}B}{BC}\Rightarrow A^{\text{'}}B=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Đáp án B

Vì các mặt chéo $\left(SAC\right)$  và $\left(SBD\right)$  cùng vuông góc với mặt đáy $\left(ABCD\right)$  nên $SO\perp \left(ABCD\right)$  với $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Kẻ $OK\perp AB$  tại K

$\Rightarrow \left(SOK\right)\perp AB\Rightarrow SK\perp AB$

$\Rightarrow (\left(SAB\right),\left(ABCD\right))=(SK,OK)=\widehat{SKO}=60°$

Do $AD\text{//}BC$  nên $\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=2$

$\Rightarrow DB=3OB\Rightarrow d(D,\left(SAB\right))=3d(O,\left(SAB\right))$

Trong mặt phẳng $\left(SOK\right)$ , kẻ $OH\perp SK$  tại H

$\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)\Rightarrow d(D,\left(SAB\right))=3d(O,\left(SAB\right))=3OH$

Trong tam giác vuông $\Delta SOK:\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{K}^2}=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3\Rightarrow OH=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $T=ab+1=2(-1)+1=-1$ .