Trong không gian Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua $D(0;1;2)$  và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ , trong đó $a,b,c\in ℝ\backslash \{0;1\}$ . Tính bán kính của (S)  ?

Đáp án C

Mặt cầu (S) tiếp xúc với Ox tại A(a;0;0)  .

Tâm I thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox.

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox là $1(x-a)=0\iff x=a$  .

Tương tự, ta có tâm I thuộc mặt phẳng đi qua B và vuông góc với Oy là , tâm I thuộc mặt phẳng đi qua C và vuông góc với Oz là $z=c\Rightarrow I(a;b;c)$ .

Ta có: $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=I{D}^2\iff b^2+c^2=a^2+c^2=a^2+b^2=a^2+{(b-1)}^2+{(c-2)}^2\iff \{\begin{array}{l}{a}^2=b^2=c^2\\ b^2={(b-1)}^2+{(c-2)}^2\end{array}.$

TH1: $\{\begin{array}{l}a=b=c\\ a^2={(a-1)}^2+{(a-2)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=b=c\\ a^2-6a+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=b=c\\ [\begin{array}{l}a=1\left(loai\right)\\ a=5\end{array}\end{array}\Rightarrow a=b=c=5$  .

$\Rightarrow R=IA=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$.

TH2: $\{\begin{array}{l}a=b=-c\\ a^2={(a-1)}^2+{(a-2)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=b=-c\\ a^2+2a+5=0\left(\text{vo nghiem}\right)\end{array}$ .

TH3: $\{\begin{array}{l}a=-b=c\\ a^2={(a-1)}^2+{(a-2)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-b=c\\ a^2-2a+5=0\left(\text{vo nghiem}\right)\end{array}$  .

TH4: $\{\begin{array}{l}-a=b=c\\ a^2={(a-1)}^2+{(a-2)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a=b=c\\ a^2+6a+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a=b=c\\ [\begin{array}{l}a=-1\left(loai\right)\\ a=5\end{array}\end{array}$ .

$\Rightarrow R=IA=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$.