Câu hỏi:
12/07/2024 9,052
Cho \(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}\). Chứng minh \(A < \frac{1}{2}\).
Câu hỏi trong đề:
Đề thi Cuối kì học kỳ 2 Toán 6 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}\)
\( = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}}} \right)\).
Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} = \frac{2}{{1.2}} - \frac{1}{{1.2}} = 1 - \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}} = \frac{{3 - 2}}{{2.3}} = \frac{3}{{2.3}} - \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
………………..
\(\frac{1}{{{{50}^2}}} = \frac{1}{{50.50}} < \frac{1}{{49.50}} = \frac{{50 - 49}}{{49.50}} = \frac{{50}}{{49.50}} - \frac{{49}}{{49.50}} = \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\)
Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\)
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 - \frac{1}{{50}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}} < \frac{{49}}{{50}} < \frac{{50}}{{50}} = 1\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1\)
Từ đó ta có: \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 + 1 = 2\)
\[A = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{50}^2}}}} \right) < \frac{1}{4}.2 = \frac{1}{2}\].
Vậy \(A < \frac{1}{2}.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong một hộp kín có một số quả bóng màu xanh, màu đỏ, màu tím, vàng. Trong một trò chơi, người chơi được lấy ngẫu nhiên một quả bóng, ghi lại màu rồi trả lại bóng vào thùng. Minh thực hiện 100 lần và được kết quả sau:
Màu
Số lần
Xanh
25
Đỏ
23
Tím
30
Vàng
22
Hãy tìm xác suất của thực nghiệm của các sự kiện sau:
a) Minh lấy được quả bóng màu xanh;
b) Quả bóng được lấy ra không là màu đỏ.
Trong một hộp kín có một số quả bóng màu xanh, màu đỏ, màu tím, vàng. Trong một trò chơi, người chơi được lấy ngẫu nhiên một quả bóng, ghi lại màu rồi trả lại bóng vào thùng. Minh thực hiện 100 lần và được kết quả sau:
|
Màu |
Số lần |
|
Xanh |
25 |
|
Đỏ |
23 |
|
Tím |
30 |
|
Vàng |
22 |
Hãy tìm xác suất của thực nghiệm của các sự kiện sau:
a) Minh lấy được quả bóng màu xanh;
b) Quả bóng được lấy ra không là màu đỏ.
Xem đáp án »
12/07/2024
10,147
Câu 2:
Trong hộp có bốn viên bi, trong đó có một viên bi màu vàng, một viên bi màu trắng, một viên bi màu đỏ và một viên bi màu tím. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu kết quả xảy ra đối với màu của viên bi được lấy ra?
Xem đáp án »
16/06/2022
4,595
Câu 3:
PHẦN II. TỰ LUẬN
Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):
a) \[25\% - 1\frac{1}{4} + 0,2:\frac{6}{5}\];
b) \[\frac{8}{9} + \frac{1}{9}.\frac{2}{9} + \frac{1}{9}.\frac{7}{9}\];
c) \(\frac{5}{{39}}\,\, \cdot \,\left( {\,7\frac{4}{5}\,\, \cdot \,1\frac{2}{3}\,\, + \,\,8\frac{1}{3}\, \cdot \,7\frac{4}{5}\,} \right)\)
PHẦN II. TỰ LUẬN
Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):
a) \[25\% - 1\frac{1}{4} + 0,2:\frac{6}{5}\];
b) \[\frac{8}{9} + \frac{1}{9}.\frac{2}{9} + \frac{1}{9}.\frac{7}{9}\];
c) \(\frac{5}{{39}}\,\, \cdot \,\left( {\,7\frac{4}{5}\,\, \cdot \,1\frac{2}{3}\,\, + \,\,8\frac{1}{3}\, \cdot \,7\frac{4}{5}\,} \right)\)
Xem đáp án »
12/07/2024
4,524
Câu 4:
Vẽ đoạn thẳng AB = 8 cm. C là điểm nằm giữa A và B, AC = 3 cm. M là trung điểm của BC. Tính BM.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,842
về câu hỏi!