Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc 60 độ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc $\phi$  thỏa mãn $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{4}$  . Gọi $\phi$  là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) . Tính $\tan \alpha$ .

Đáp án C

Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:

  $O(0;0;0),A(1;0;0),B(0;-1;0),C(0;1;0),S(0;m;n)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;-1;0),\overrightarrow{AC}=(-1;1;0),\overrightarrow{AS}=(-1;m;n)$.

Mặt phẳng $\left(SBC\right):x=0$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$ .

Mặt phẳng $\left(SAC\right)$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}]=(n;n;-m+1).$

Mặt phẳng $\left(SAB\right)$   có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(-n;n;-m-1).$

$\begin{array}{l}\cos 60°=\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}\iff \frac{1}{2}=\frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}\iff 4n^2=2n^2+{(-m-1)}^2\iff 2n^2={(-m-1)}^2\left(1\right)\\ \cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{\left|n\right|}{\sqrt{2n^2+{(-m+1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\iff 4\left|n\right|=\sqrt{4n^2+2{(-m+1)}^2}\iff 6n^2={(1-m)}^2\left(2\right)\end{array}$Từ (1) và (2) suy ra  $3{(m+1)}^2={(1-m)}^2\iff [\begin{array}{l}m=-2+\sqrt{3}\\ m=-2-\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}n=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ n=\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}$ .

$\Rightarrow [\begin{array}{l}S(0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}})\\ S(0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}})\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow [\begin{array}{l}H(0;-2+\sqrt{3};0)\\ H(0;-2-\sqrt{3};0)\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}SH=\sqrt{2-\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2+\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ SH=\sqrt{2+\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2-\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}\\ \Rightarrow \tan \alpha =\frac{SH}{AH}=\frac{1}{2}\end{array}$