Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-m{x}^3+\frac{3}{2}(m^2-1)x^2+(1-m^2)x+2019$  với m là tham số thực. Biết rằng hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$  có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi $a<m^2<b+2\sqrt{c}(a,b,c\in ℝ)$. Giá trị $T=a+b+c$  bằng:

Đáp án A

Hàm bậc 4 có nhiều nhất 3 cực trị, mà $y=f\left(\left|x\right|\right)$  có nhiều hơn 5 cực trị suy ra hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$  có đúng 6 cực trị. Từ đó f(x) có 3 cực trị đều có hoành độ dương, hay phương trình $f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)=0$  có ba nghiệm dương phân biệt.

Lại có $g\left(x\right)$  là hàm bậc 3 cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương, suy ra $g_{\text{C§}}.g_{CT}<\mathrm{0,}g\left(0\right)<0$  có hai nghiệm dương và $g_{\text{C§}}.g_{CT}<\mathrm{0,}g\left(0\right)<0$ .

Ta có: $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=x^3-3m{x}^2+3(m^2-1)x+1-m^2=g\left(x\right)\\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2-2mx+m^2-1=0\end{array}$

$\iff x_{\text{C§}}=m-\mathrm{1,}{x}_{CT}=m+1$.

Nhận xét: $x_{\text{C§}}=m-1>x_1>0\Rightarrow m>1$ .

(Giải hệ điều kiện: PP loại trừ).

$\begin{array}{l}+g\left(0\right)<0\Rightarrow m^2-1>0\Rightarrow m>1\\ +g_{\text{C§}}=(m-1)(m^2-3)>0\Rightarrow m>\sqrt{3}\\ +g_{CT}=(m+1)(m^2-2m-1)<0\Rightarrow m>1+\sqrt{2}\end{array}$

Vậy giá trị cần tìm của m là: $\sqrt{3}<m<1+\sqrt{2}\iff 3<m^2<3+2\sqrt{2}\Rightarrow a=b=\mathrm{3,}c=2.$