Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.

Hàm số	Hệ số a	Tính chất của đồ thị
		Bề lõm của đồ thị (Quay lên/Quay xuống)	Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất	Trục đối xứng
y = x2 + 2x + 2	1	Quay lên	(– 1; 1)	x = – 1
y = – 2x2 – 3x + 1	?	?	?	?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a).

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1

⇔ 4a + 2b = 3       (2a).

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = \( - \frac{7}{2}\).

Suy ra: a = – 1 \( - \left( { - \frac{7}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).

Vậy ta có parabol: \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b).

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\)    (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1.

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Do đó: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b\) và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1.

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = a² – 4 . a . 1 = a² – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 4a}}{{4a}} = 0,25\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a - 4} \right)}}{{4a}} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 4}}{4} = \frac{1}{4}\)          (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Do đó: a = b = 5.

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.

Hướng dẫn giải

a) y = x² – 3x + 2

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² – 3x + 2 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là B(3; 2).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) y = – 2x² + 2x + 3

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là x = \(\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) và x = \(\frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\);

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) y = x² + 2x + 1

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Parabol y = x² + 2x + 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) y = – x² + x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Parabol y = – x² + x – 1 có:

+ Tọa độ đỉnh I\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\);

+ Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\);

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\) là B(1; – 1).

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng với điểm C qua trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$ là D(– 1; – 3).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.