Câu hỏi:

12/07/2024 6,501

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³ = = a⁴ + a³b² + a²b² + ab³ + b⁴.

Tính giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 10 Bài 3. Nhị thức Newtơn có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: $C_3^0 = 1$, $C_3^1 = 3$, $C_3^2 = 3$, $C_3^3 = 1$.

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt là:

$C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1$.

Khi đó ta thấy $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵b⁰ + $C_5^1$a⁴b¹ + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: (3x – 2)⁵ = $ = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Câu 2

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b) ${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = $C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}$

$ = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}$.

Vậy (3x + y)⁴ $ = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}$.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = $\sqrt{2}$ , ta có:

${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.${\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}$+ $C_5^2$x³${\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}$ + $C_5^3$x²${\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}$ + $C_5^4$x${\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}$ + $C_5^5$${\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}$

= x⁵ – $5\sqrt 2 $x⁴+ 20x³ – $20\sqrt 2 $x² + 20x – $4\sqrt 2 $.

Vậy ${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$ = $C_5^0$x⁵ – $5\sqrt 2 $x⁴+ 20x³ – $20\sqrt 2 $x² + 20x – $4\sqrt 2 $.

Câu 3