a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³ = = a⁴ + a³b² + a²b² + ab³ + b⁴.

Tính giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 10 Bài 3. Nhị thức Newtơn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: $C_3^0 = 1$, $C_3^1 = 3$, $C_3^2 = 3$, $C_3^3 = 1$.

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt là:

$C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1$.

Khi đó ta thấy $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵b⁰ + $C_5^1$a⁴b¹ + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: (3x – 2)⁵ = $ = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Câu 2

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b) ${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = $C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}$

$ = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}$.

Vậy (3x + y)⁴ $ = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}$.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = $\sqrt{2}$ , ta có:

${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.${\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}$+ $C_5^2$x³${\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}$ + $C_5^3$x²${\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}$ + $C_5^4$x${\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}$ + $C_5^5$${\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}$

= x⁵ – $5\sqrt 2 $x⁴+ 20x³ – $20\sqrt 2 $x² + 20x – $4\sqrt 2 $.

Vậy ${\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}$ = $C_5^0$x⁵ – $5\sqrt 2 $x⁴+ 20x³ – $20\sqrt 2 $x² + 20x – $4\sqrt 2 $.

Câu 3