Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {4x + 2y} - 5\sqrt {2x - y} = 2\\7\sqrt {4x + 2y} + 2\sqrt {2x - y} = 32\end{array} \right.\] có nghiệm là \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \[x + y = ....\]

Phương pháp giải:

+) Đặt \[a = \sqrt {4x + 2y} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} b = \sqrt {2x - y} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ge 0,{\mkern 1mu} b \ge 0)\], khi đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của a và b.

+) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của a, b để tìm a và b.

+) Tìm được a, b ta thay ngược lại để tìm x và y, từ đó tính được tổng của x và y.

Giải chi tiết:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\sqrt {4x + 2y} - 5\sqrt {2x - y} = 2}\\{7\sqrt {4x + 2y} + 2\sqrt {2x - y} = 32}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (3)\]

ĐK: \(4x + 2y \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)\)

Đặt \(a = \sqrt {4x + 2y} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} b = \sqrt {2x - y} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ge 0,{\mkern 1mu} b \ge 0)\), khi đó hệ (3) trở thành:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a - 5b = 2}\\{7a + 2b = 32}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 10b = 4}\\{35a + 10b = 160}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 10b = 4}\\{6a - 10b + 35a + 10b = 4 + 160}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 10b = 4}\\{41a = 164}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{10b = 6a - 4}\\{a = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{10b = 6.4 - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{10b = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4{\mkern 1mu} (tm)}\\{b = 2{\mkern 1mu} (tm)}\end{array}} \right.\)

Thay \(a = 4;\,b = 2\)ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4x + 2y} = 4}\\{\sqrt {2x - y} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 2y = 16}\\{2x - y = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 2(2x - 4) = 16}\\{y = 2x - 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 4x - 8 = 16}\\{y = 2x - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x = 24}\\{y = 2x - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2.3 - 4}\end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3;\,y = 2\) thì điều kiện (*) được thỏa mãn. Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) là nghiêm của hệ (3).

Khi đó \(x + y = 3 + 2 = 5\).