Câu hỏi:
28/06/2022 163
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng:
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng:
Câu hỏi trong đề:
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\), sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {I \in HK} \right)\), chứng minh \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'\).
\( \Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \[AI \bot HK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {I \in HK} \right)\] ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AK}\\{BC \bot AH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \botAI}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI \bot HK}\\{AI \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)}\end{array} \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có: \[AK = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Tam giác \[A'B'C'\] có \[B'C' = {\rm{ }}\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{C'}^2}} = 2a \Rightarrow A'H = \frac{1}{2}B'C' = a\]
\[ \Rightarrow AH = {\rm{ }}\sqrt {A{{A'}^2} + A'{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 {\rm{ }}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHK\) ta có:
\(AI = \frac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AA';BC'} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} + 8x - 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} + 8x - 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
Xem đáp án »
28/06/2022
17,443
Câu 2:
Cho biết nồng độ dung dịch bão hòa KAl(SO4)2 ở 200C là 5,56%. Lấy m gam dung dịch bão hòa KAl(SO4)2.12H2O ở 20oC để đun nóng cho bay hơi 200 gam nước, phần còn lại làm lạnh đến 200C. Tính khối lượng tinh thể KAl(SO4)2.12H2O kết tinh?
Cho biết nồng độ dung dịch bão hòa KAl(SO4)2 ở 200C là 5,56%. Lấy m gam dung dịch bão hòa KAl(SO4)2.12H2O ở 20oC để đun nóng cho bay hơi 200 gam nước, phần còn lại làm lạnh đến 200C. Tính khối lượng tinh thể KAl(SO4)2.12H2O kết tinh?
Xem đáp án »
28/06/2022
13,684
Câu 5:
Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ti liên doanh A đề xuất 2 phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:
+ Phương án 1: Người lao động nhận được 360 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 30 triệu đồng mỗi năm.
+ Phương án 2: Người lao động nhận được 70 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, và kể từ quý thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 5 triệu đồng mỗi quý.
Nếu em là người kí hợp đồng lao động em sẽ chọn phương án nào?
Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ti liên doanh A đề xuất 2 phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:
+ Phương án 1: Người lao động nhận được 360 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 30 triệu đồng mỗi năm.
+ Phương án 2: Người lao động nhận được 70 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, và kể từ quý thứ 2 trở đi, mức lương sẽ tăng thêm 5 triệu đồng mỗi quý.
Nếu em là người kí hợp đồng lao động em sẽ chọn phương án nào?
Xem đáp án »
28/06/2022
4,854
Câu 6:
Nhận thức mới của Nguyễn Tất Thành trong giai đoạn 1911- 1917 so với các nhà yêu nước tiền bối là về
Nhận thức mới của Nguyễn Tất Thành trong giai đoạn 1911- 1917 so với các nhà yêu nước tiền bối là về
Xem đáp án »
28/06/2022
3,313
Câu 7:
Để chuẩn độ 10 ml dung dịch FeSO4 trong dung dịch có H2SO4 loãng làm môi trường, thì cần dùng hết 20 ml dung dịch KMnO4 0,025M, nồng độ mol dung dịch FeSO4 là
Để chuẩn độ 10 ml dung dịch FeSO4 trong dung dịch có H2SO4 loãng làm môi trường, thì cần dùng hết 20 ml dung dịch KMnO4 0,025M, nồng độ mol dung dịch FeSO4 là
Xem đáp án »
28/06/2022
2,712
về câu hỏi!