Họ nguyên hàm ∫ \(\int {\frac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}} {\mkern 1mu} dx\) là:

Phương pháp giải:

- Bậc tử > bậc mẫu \( \Rightarrow \) Chia tử cho mẫu.

- Phân tích mẫu thành nhân tử \({x^2} + x - 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).

- Tách phân thức dưới dấu nguyên hàm thành \(Ax + B + \frac{C}{{x - 1}} + \frac{D}{{x + 2}}\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D\)

- Sử dụng các công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2} + C,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \int {Bdx} = Bx + C\), \(\int {\frac{{dx}}{{x - 1}}} = \ln \left| {x - 1} \right| + C\).

Giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right) + 2x - 5}}{{{x^2} + x - 2}}\)

\( = x + \frac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

Đặt: \(\frac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{A\left( {x + 2} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 2x - 5 = \left( {A + B} \right)x + 2A - B\)

Đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình ta được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A + B = 2}\\{2A - B = - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = - 1}\\{B = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}} = x - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 2}}\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}dx} = \int {\left( {x - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)dx} \)

\( = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C.\)