Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm số \(y = g\left( x \right)\)

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)

- Lập bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\)

- Xác định các điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)\) là các điểm mà qua đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương.

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số có 2 điểm cực trị \(x = - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 1\), do đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} - 2 = 1}\\{{x^2} - 2 = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 3 }\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau: