Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {5;6;1} \right).\) Biết \(M\left( {a;b;0} \right)\) sao cho tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất. Tính độ dài đoạn \(OM.\)

Phương pháp giải:

- Nhận xét: \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\), điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

- Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua , xác định tọa độ điểm \(A\).

- Sử dụng tính chất đối xứng và BĐT tam giác: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)

- Xác định dấu “=” xảy ra, tìm tọa độ điểm \(M\) và tính \(OM\).

Giải chi tiết:

Dễ thấy hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\), điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( {1;2; - 3} \right)\)

Theo tính chất đối xứng ta có: \(MA = MA'\)

Do đó \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\) (Bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow M \in A'B\). Hay \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A',{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {A'B} \) cùng phương.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {A'M} = \left( {a - 1;b - 2;3} \right)}\\{\overrightarrow {A'B} = \left( {4;4;4} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{4} = \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {4;5;0} \right)\). Vậy \(OM = \sqrt {{4^2} + {5^2} + {0^2}} = \sqrt {41} \).