Cho hình chóp đều \[SABC\] có \[AB = 2a\], khoảng cách từ A đến \[mp\left( {SBC} \right)\] là \[\frac{{3a}}{2}\]. Tính thể tích hình chóp \[SABC\].
A. \[{a^3}\sqrt 3 \]
B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\]
C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]
D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Gọi M là trung điểm của BC và G là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Do S.ABC là hình chóp đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) và G là trọng tâm \(\Delta ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SG \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\) hay \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAM} \right)\) theo giao tuyến SM.
Trong \(\left( {SAM} \right)\), kẻ \(AH \bot {\rm{S}}M,H \in SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Vậy \(d\left( {A,(SBC)} \right) = AH = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\).
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh 2a nên \(AM = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
Đặt \(SG = x\). Ta có: \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét \(\Delta SGM\) vuông tại G ta có: \(SM = \sqrt {S{G^2} + G{M^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \)
Xét \(\Delta SAM\) ta có: \({S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}SG.AM = \frac{1}{2}AH.SM \Rightarrow x.a\sqrt 3 = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\sqrt {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \)
\( \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = 3\left( {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \right) \Leftrightarrow x = a\). Do đó: \(SG = a\).
Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{5}} + C.\]
B. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{{25}}} + C.\]
C. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{{25}}} + C.\]
D. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - 20{{\left( {3 - 5x} \right)}^3}} + C.\]
Lời giải
Đáp án B
Ta có \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)}^4}d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)}^4}d\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)} = \frac{{\left( {5{\rm{x}} - {3^5}} \right)}}{{25}} + C\).
Lời giải
Đáp án C
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Đạo hàm: \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;3} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]\end{array} \right.\).
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0,{\rm{ y}}\left( 0 \right) = 4,{\rm{ y}}\left( 2 \right) = 0,{\rm{ y}}\left( 3 \right) = 4\).
Suy ra: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 4,{\rm{ }}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 0\) nên \(T = {M^2} - {m^2} = 16\).
Câu 3
A. \[S = \frac{{31\pi }}{5}\]
B. \[S = \frac{{27}}{4}\]
C. \[S = \frac{{19}}{3}\]
D. \[S = \frac{{31}}{5}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[\left( R \right):5x + y - 7z - 1 = 0.\]
B. \[\left( R \right):x + 2y - z + 2 = 0.\]
C. \[\left( R \right):x + 2y - z = 0.\]
D. \[\left( R \right):15x + 11y - 17z - 10 = 0.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 1 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 31t\\y = 1 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 3 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 1 + 5t\\z = 2 - 8t\end{array} \right..\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 2 nghiệm.
B. 4 nghiệm.
C. 3 nghiệm.
D. 1 nghiệm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo