Câu hỏi:

05/07/2022 266

Cho hình chóp đều \[SABC\]\[AB = 2a\], khoảng cách từ A đến \[mp\left( {SBC} \right)\] \[\frac{{3a}}{2}\]. Tính thể tích hình chóp \[SABC\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Cho hình chóp đều  SBAC có AB=2a , khoảng cách từ A đến   (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BCG là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Do S.ABC là hình chóp đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)G là trọng tâm \(\Delta ABC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SG \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\) hay \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAM} \right)\) theo giao tuyến SM.

Trong \(\left( {SAM} \right)\), kẻ \(AH \bot {\rm{S}}M,H \in SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Vậy \(d\left( {A,(SBC)} \right) = AH = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\).

\(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh 2a nên \(AM = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Đặt \(SG = x\). Ta có: \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét \(\Delta SGM\) vuông tại G ta có: \(SM = \sqrt {S{G^2} + G{M^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \)

Xét \(\Delta SAM\) ta có: \({S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}SG.AM = \frac{1}{2}AH.SM \Rightarrow x.a\sqrt 3 = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\sqrt {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \)

\( \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = 3\left( {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \right) \Leftrightarrow x = a\). Do đó: \(SG = a\).

Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đáp án B

Ta có \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)}^4}d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)}^4}d\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)} = \frac{{\left( {5{\rm{x}} - {3^5}} \right)}}{{25}} + C\).

Câu 2

Lời giải

Đáp án B

Dựa vào đồ thị suy ra \(y = a\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow 2 = 2{\rm{a}} \Rightarrow a = 1\)

Khi đó \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{27}}{4}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP