Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_{\frac{{ - 1}}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right).\left( {3 - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{{ - 109}}{{12}}.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}}{\rm{d}}x} .\]

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {3 - 5x} \right)^4}.\]

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 4\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\]. Giá trị của biểu thức \[P = {M^2} - {m^2}\] là

Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (như hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] và trục hoành.

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {3{x^4} + m{x^3} + 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}.\] Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)?\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - z - 2 = 0,\] \[\left( Q \right):x + 3y - 12 = 0\] đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\] Viết phương trình mặt phẳng \[\left( R \right)\] chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right).\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng \[d:\;\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right):\;x - 3y + 2z + 6 = 0?\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\] và có bảng biến thiên như hình dưới:

Hỏi phương trình \[3\left| {f(x)} \right| - 10 = 0\] có bao nhiêu nghiệm?