Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị là đường parabol như hình bên. Hàm số \[y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 2{x^2}\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {3 - 5x} \right)^4}.\]

Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (như hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] và trục hoành.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 4\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\]. Giá trị của biểu thức \[P = {M^2} - {m^2}\] là

Một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 4 dm. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt đáy của hình trụ. Tính diện tích S của hình vuông \[ABCD.\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right).\] Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \[3f\left( x \right) + {x^3} < a - 3x\ln x\] có nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {1;2} \right]\] khi và chỉ khi

Cho số phức \[z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn \[z + 7 + i - \left| z \right|\left( {2 + i} \right) = 0\] và \[\left| z \right| < 3.\] Tính giá trị \[P = a + b.\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng \[d:\;\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right):\;x - 3y + 2z + 6 = 0?\]