Câu hỏi:
05/07/2022 578Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[B\left( {2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} - 3} \right)\], \[C\left( { - 6;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\]. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm \[A\left( {a;b;0} \right)\], (\[b > 0\]) sao cho giá trị của \[\cos A\] nhỏ nhất. Tính \[a + b.\]
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Gọi \[P = BM \cap CN\], ta có \[BM \bot CN\] nên \[B{C^2} = B{P^2} + C{P^2}\].
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có:
\[\begin{array}{l}B{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}BM} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4}\\C{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}CN} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{4}\\ \Rightarrow B{C^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} + 4B{C^2}}}{9} \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}.\end{array}\]
Ta có \[\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{5\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{{10.AB.AC}} = \frac{2}{5}.\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{AB.AC}} \ge \frac{2}{5}.\frac{{2AB.AC}}{{AB.AC}} = \frac{4}{5}\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow AB = AC\].
Ta có \[A\left( {a;b;0} \right),b > 0\] và \[B\left( {2; - 1; - 3} \right),C\left( { - 6; - 1;3} \right)\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2 - a; - 1 - b; - 3} \right) \Rightarrow A{B^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 6 - a; - 1 - b;3} \right) \Rightarrow A{C^2} = {\left( {a + 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\end{array} \right.\].
Ép cho \[A{B^2} = A{C^2} \Rightarrow 4 - 4a = 36 + 12a \Leftrightarrow a = - 2\].
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 8;0;6} \right) \Rightarrow B{C^2} = 100\]. Khi đó từ \[A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\] và \[AB = AC\]
\[ \Rightarrow 2\left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + 9} \right] = 5.100 \Rightarrow {4^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9 = 250\].
Kết hợp với \[b > 0\] ta được \[b = 14\] thỏa mãn \[ \Rightarrow a + b = 12\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho các hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng \[x = 5\] cắt trục hoành, đồ thị hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] lần lượt tại các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C.\] Biết rằng \[BC = 2AB.\] Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\]. Biết \[f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\] và \[f\left( 0 \right) = 1.\] Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} .\]
Câu 3:
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\] và \[\vec v = \left( {2;2; - 1} \right).\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 5:
Tìm tập xác định D của hàm số \[y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{2020}}.\]
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng
về câu hỏi!