Câu hỏi:
05/07/2022 2,286Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[B\left( {2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} - 3} \right)\], \[C\left( { - 6;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\]. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm \[A\left( {a;b;0} \right)\], (\[b > 0\]) sao cho giá trị của \[\cos A\] nhỏ nhất. Tính \[a + b.\]
Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Gọi \[P = BM \cap CN\], ta có \[BM \bot CN\] nên \[B{C^2} = B{P^2} + C{P^2}\].
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có:
\[\begin{array}{l}B{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}BM} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4}\\C{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}CN} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{4}\\ \Rightarrow B{C^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} + 4B{C^2}}}{9} \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}.\end{array}\]
Ta có \[\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{5\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{{10.AB.AC}} = \frac{2}{5}.\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{AB.AC}} \ge \frac{2}{5}.\frac{{2AB.AC}}{{AB.AC}} = \frac{4}{5}\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow AB = AC\].
Ta có \[A\left( {a;b;0} \right),b > 0\] và \[B\left( {2; - 1; - 3} \right),C\left( { - 6; - 1;3} \right)\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2 - a; - 1 - b; - 3} \right) \Rightarrow A{B^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 6 - a; - 1 - b;3} \right) \Rightarrow A{C^2} = {\left( {a + 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\end{array} \right.\].
Ép cho \[A{B^2} = A{C^2} \Rightarrow 4 - 4a = 36 + 12a \Leftrightarrow a = - 2\].
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 8;0;6} \right) \Rightarrow B{C^2} = 100\]. Khi đó từ \[A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\] và \[AB = AC\]
\[ \Rightarrow 2\left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + 9} \right] = 5.100 \Rightarrow {4^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9 = 250\].
Kết hợp với \[b > 0\] ta được \[b = 14\] thỏa mãn \[ \Rightarrow a + b = 12\].
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án C
Ta có \[\begin{array}{l}C\left( {5;{{\log }_b}5} \right),B\left( {5;{{\log }_a}5} \right),A\left( {5;0} \right);\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {BA} \Rightarrow {\log _a}5 - {\log _b}5 = 2\left( { - {{\log }_a}5} \right)\\ \Rightarrow 3{\log _a}5 = {\log _b}5 \Rightarrow \frac{3}{{{{\log }_5}a}} = \frac{1}{{{{\log }_5}b}} \Rightarrow {\log _5}a = 3{\log _5}b = {\log _5}{b^3} \Rightarrow a = {b^3}.\end{array}\]
Lời giải
Đáp án D
Gọi \[M = d \cap d'\], ta có \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {t + 2; - t - 1;t + 1} \right)\].
Đường thẳng d qua \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {AM} = \left( {t + 1; - t;t - 2} \right)\] là một VTCP.
Mặt phẳng \[\left( P \right):x + 4y - 2z + 1 = 0\] nhận \[\overrightarrow n = \left( {1;4; - 2} \right)\] là một VTPT.
Ta có \[d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0\\A \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - 4t - 2\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\].
Đường thẳng d qua \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\] là một VTCP
\[ \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải