Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD và điểm O tùy ý trên mặt phẳng (BCD). Thể tích tứ diện OMNP bằng

Gọi điểm M có tọa độ là M(x; y; z)

MA² + MB² = 30

Û (x + 1)² + y² + (z – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 30

Û x² + 2x + 1 + y² + z² – 4z + 4 + x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 + z² + 4z + 4 = 30

$\iff$2x² + 2y² + 2z² – 4x – 4y – 8 = 0

$\iff$x² + y² + z² – 2x – 2y – 4 = 0

$\iff$(x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + z² = 6

$\iff$(x – 1)² + (y – 1)² + z² = 6 (*)

Phương trình (*) là phương trình một mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{6}$ 

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(-1; 2; 0), B(-3; 4; 2)

Suy ra điểm I có tọa độ là (x_I; y_I; z_I) với

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{(-1)+(-3)}{2}=-2\\ y_I=\frac{2+4}{2}=3\\ z_I=\frac{0+2}{2}=1\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow$ I(-2; 3; 1)

$AB=\sqrt{{(x_A-x_B)}^2+{(y_A-y_B)}^2+{(z_A-z_B)}^2}$ 

$=\sqrt{{(-1+3)}^2+{(2-4)}^2+{(0-2)}^2}=2\sqrt{3}$ 

$\Rightarrow R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}$ 

Mặt cầu tâm I(-2; 3; 1) và bán kính $R=\sqrt{3}$ có phương trình

(x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 3.