Câu hỏi:

08/07/2022 2,208

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD và điểm O tùy ý trên mặt phẳng (BCD). Thể tích tứ diện OMNP bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{96}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$ .

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{48}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{36}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

AH là đường cao của tứ diện đều A.BCD nên H là trọng tâm tam giác BCD

Suy ra, $H D = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A H = \sqrt{A D^{2} - H D^{2}}$

$= \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Và $S_{B C D} = \frac{1}{2} B C . B D . \sin \hat{C B D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{A P}{A D} = \frac{1}{2}$

Suy ra mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD)

$\Rightarrow$ d_O/(MNP)= d_B/(MNP)= d_A/(MNP)

$= \frac{1}{2} d_{A / (B C D)} = \frac{A H}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

$S_{M N P} = {(\frac{A M}{A B})}^{2} . S_{B C D} = \frac{1}{4} S_{B C D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{16}$

Suy ra $V_{O . M N P} = \frac{1}{3} d_{O / (M N P)} . S_{M N P}$

$= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{6} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{16} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{36}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; 0; 2), B(3; 2; -2). Biết tập hợp các điểm M thỏa mãn MA² + MB² = 30 là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

A. $\sqrt{6} .$

B. 6.

C. 2.

D. $\sqrt{2} .$

Lời giải

Gọi điểm M có tọa độ là M(x; y; z)

MA² + MB² = 30

Û (x + 1)² + y² + (z – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 30

Û x² + 2x + 1 + y² + z² – 4z + 4 + x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 + z² + 4z + 4 = 30

$\Leftrightarrow$ 2x²+ 2y²+ 2z²– 4x – 4y – 8 = 0

$\Leftrightarrow$ x²+ y²+ z²– 2x – 2y – 4 = 0

$\Leftrightarrow$ (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + z² = 6

$\Leftrightarrow$ (x – 1)² + (y – 1)² + z² = 6 (*)

Phương trình (*) là phương trình một mặt cầu có bán kính $R = \sqrt{6}$

Câu 2

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 4; 2). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. (x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 3

B. (x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 9

C. (x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 3

D. (x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 9

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(-1; 2; 0), B(-3; 4; 2)

Suy ra điểm I có tọa độ là (x_I; y_I; z_I) với

$\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{(- 1) + (- 3)}{2} = - 2 \\ y_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ z_{I} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \end{cases}$