Câu hỏi:

08/07/2022 7,652

Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0; 1; -2), B(2; 1; 0) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là

A. x - y - z + 3 = 0

B. x + y - z - 3 = 0

C. x - 2y - z - 3 = 0

D. 2x - y - z - 3 = 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0

Hai điểm A(0; 1; -2), B(2; 1; 0) thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} B - 2 C + D = 0 \\ 2 A + B + D = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 A + 2 C = 0 \\ B + D = 2 C \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A = - C \\ B + D = - 2 A \end{cases}$

Phương trình (P) trở thành $- \frac{B + D}{2} x + B y + \frac{B + D}{2} z + D = 0$

Khoảng cách từ O đến (P) là $d_{O / (P)} = \frac{|- \frac{B + D}{2} .0 + B .0 + \frac{B + D}{2} .0 + D|}{\sqrt{{(- \frac{B + D}{2})}^{2} + B^{2} + {(\frac{B + D}{2})}^{2}}}$

$= \frac{| D |}{\sqrt{\frac{3 B^{2}}{2} + B D + \frac{D^{2}}{2}}}$ (*)

+ Với D = 0 $\Rightarrow$ d_O/(P)= 0

+ Với D $\neq$ 0. Chia cả tử và mẫu của (*) cho $| D |$ ta được

$d_{O / (P)} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3 B^{2}}{2 D^{2}} + \frac{B}{D} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} t^{2} + t + \frac{1}{2}}}$ với $t = \frac{B}{D}$

Yêu cầu bài toán tìm t $\in$ ℝ để $\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} t^{2} + t + \frac{1}{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất

Suy ra hàm số $f (t) = \frac{3}{2} t^{2} + t + \frac{1}{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi t đạt tại giá trị $t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{2. \frac{3}{2}} = - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow f (\frac{- 1}{3}) = \frac{3}{2} . {(\frac{- 1}{3})}^{2} + (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Với $t = \frac{B}{D} = \frac{- 1}{3}$

Chọn B = 1, D = -3 $\Rightarrow$ A = - C = 1

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là

x + y - z - 3 = 0.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; 0; 2), B(3; 2; -2). Biết tập hợp các điểm M thỏa mãn MA² + MB² = 30 là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

A. $\sqrt{6} .$

B. 6.

C. 2.

D. $\sqrt{2} .$

Lời giải

Gọi điểm M có tọa độ là M(x; y; z)

MA² + MB² = 30

Û (x + 1)² + y² + (z – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 30

Û x² + 2x + 1 + y² + z² – 4z + 4 + x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 + z² + 4z + 4 = 30

$\Leftrightarrow$ 2x²+ 2y²+ 2z²– 4x – 4y – 8 = 0

$\Leftrightarrow$ x²+ y²+ z²– 2x – 2y – 4 = 0

$\Leftrightarrow$ (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + z² = 6

$\Leftrightarrow$ (x – 1)² + (y – 1)² + z² = 6 (*)

Phương trình (*) là phương trình một mặt cầu có bán kính $R = \sqrt{6}$

Câu 2

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 4; 2). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. (x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 3

B. (x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 9

C. (x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 3

D. (x - 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 9

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(-1; 2; 0), B(-3; 4; 2)

Suy ra điểm I có tọa độ là (x_I; y_I; z_I) với

$\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{(- 1) + (- 3)}{2} = - 2 \\ y_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ z_{I} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \end{cases}$