Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0; 1; -2), B(2; 1; 0) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0

Hai điểm A(0; 1; -2), B(2; 1; 0) thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}B-2C+D=0\\ 2A+B+D=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2A+2C=0\\ B+D=2C\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}A=-C\\ B+D=-2A\end{array}\right.$ 

Phương trình (P) trở thành $-\frac{B+D}{2}x+By+\frac{B+D}{2}z+D=0$ 

Khoảng cách từ O đến (P) là $d_{O/\left(P\right)}=\frac{\left|-\frac{B+D}{2}.0+B.0+\frac{B+D}{2}.0+D\right|}{\sqrt{{\left(-\frac{B+D}{2}\right)}^2+B^2+{\left(\frac{B+D}{2}\right)}^2}}$

$=\frac{\left|D\right|}{\sqrt{\frac{3B^2}{2}+BD+\frac{D^2}{2}}}$ (*)

+ Với D = 0 $\Rightarrow$ d_O/(P) = 0

+ Với D $\ne$0. Chia cả tử và mẫu của (*) cho $\left|D\right|$ ta được

$d_{O/\left(P\right)}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3B^2}{2D^2}+\frac{B}{D}+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}{t}^2+t+\frac{1}{2}}}$ với $t=\frac{B}{D}$ 

Yêu cầu bài toán tìm t $\in$ ℝ để $\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}{t}^2+t+\frac{1}{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất

Suy ra hàm số $f\left(t\right)=\frac{3}{2}{t}^2+t+\frac{1}{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi t đạt tại giá trị $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2.\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3}$ 

$\Rightarrow f\left(\frac{-1}{3}\right)=\frac{3}{2}.{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2+\left(\frac{-1}{3}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ 

Với $t=\frac{B}{D}=\frac{-1}{3}$ 

Chọn B = 1, D = -3 $\Rightarrow$A = - C = 1

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là

x + y - z - 3 = 0.