Cho hai hàm đa thức y = f(x), y = g(x) có đồ thị là các đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) có đúng một điểm cực trị là B, đồ thị hàm số y = g(x) có đúng một điểm cực trị là A và $AB=\frac{7}{4}.$ Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left(-2021;2021\right)$ để hàm số $y=\left|\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|+m\right|$ có đúng 5 điểm cực trị?

* Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right);h\left(x\right)=0\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\end{array}\right..$

$h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right);h\text{'}\left(x\right)=0\iff x=x_0.$ Từ các đồ thị đã cho, ta có: $x_1<x_0<x_2.$

$h\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)=-\left[g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\right]=-AB=-\frac{7}{4}.$

Bảng biến thiên của h(x) và |h(x)|

Từ bảng biến thiên, ta thấy: hàm số y = |h(x)| có 3 điểm cực trị.

* Đồ thị hàm số $y=\left|h\left(x\right)\right|+m$ có cùng số điểm cực trị với đồ thị hàm số y = |h(x)|. Do đó, hàm số $y=\left|h\left(x\right)\right|+m$ cũng có 3 điểm cực trị.

* Hàm số $y=|\left|h\left(x\right)\right|+m|$ có số điểm cực trị bằng số điểm cực trị của hàm số $y=\left|h\left(x\right)\right|+m$ cộng số giao điểm không trùng với các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\left|h\left(x\right)\right|+m$ với trục Ox.

Vì vậy, để hàm số $y=|\left|h\left(x\right)\right|+m|$ có đúng 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=\left|h\left(x\right)\right|+m$ và trục Ox phải có 2 giao điểm khác các điểm cực trj hay đường thẳng y = -m phải cắt đồ thị hàm số y = |h(x)| tại 2 điểm phân biệt khác các điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên của hàm số y = |h(x)|, điều kiện của m thỏa mãn ycbt là: $-m\ge \frac{7}{4}\iff m\le -\frac{7}{4}$, $m\in \left(-2021;2021\right)$ 

và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2020;-2019;\mathrm{...};-2\right\}.$

Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019.

Chọn A.