Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, $OQ=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ m.

Khi đó đoạn PT bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$ 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$ 

$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$ Þ PQ² = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}\left(m\right)$ 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$ 

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180°-45°-75°=60°$ 

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$ 

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$