Cho lăng trụ $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng $(A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'})$ trùng với tâm O của hình vuông $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Biết rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác AB’D’ đến mặt phẳng (AA’D) bằng $\frac{a}{2}$. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng $(ADC\text{'}B\text{'})$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=1$. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Xét mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thay đổi đi qua điểm G và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{SD.SE}+\frac{1}{SE.SF}+\frac{1}{SF.SD}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại điểm P. Đặt $t=\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$. Tìm t.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB=a, AD=2a; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{5}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

Cho tứ diện ABCD có $AB=a\sqrt{2}$, AC=AD=a, BC=BD=a, CD=a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD.

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $\widehat{BAD}=\widehat{BAA\text{'}}=\widehat{DAA\text{'}}={60}^0$,$AB=AD=AA\text{'}=a$.  Đường thẳng AC’ cắt các mặt phẳng $(A\text{'}BD)$ và $(CB\text{'}D\text{'})$ lần lượt tại M và N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Cho tứ diện ABCD. Xét điểm M thay đổi là một điểm trong của tứ diện. Gọi A',B',C',D' lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, BM, CM, DM với các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{AM}{MA\text{'}}+\frac{BM}{MB\text{'}}+\frac{CM}{MC\text{'}}+\frac{DM}{MD\text{'}}$ bằng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét (P) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng CD’. Giá trị nhỏ nhất của số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BDD’B’) bằng