Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\] và hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}},{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}.\] Viết phương trình đường thẳng d nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right),\] đồng thời cắt cả hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}.\]

Đáp án B

Gọi \(M = {d_1} \cap d,\) ta có

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {m - 1;m - 3;4 - m} \right).\)

Gọi \(N = {d_2} \cap d\), ta có

\[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - 1 + 2t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t' \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow N\left( {n + 1;2n - 1;n + 3} \right).\]

Bài ra d nằm trên \(\left( P \right)\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \left( P \right)}\\{N \in \left( P \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 3} \right) + \left( {4 - m} \right) - 5 = 0}\\{\left( {n + 1} \right) - 2\left( {2n - 1} \right) + \left( {n + 3} \right) - 5 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2m + 4 = 0}\\{ - 2n + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2 \Rightarrow M\left( {1; - 1;2} \right)}\\{n = \frac{1}{2} \Rightarrow N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{7}{2}} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right).\)

Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right)\) là một VTCP nên nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) là một VTCP.

Kết hợp với d qua \(M\left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\)