Câu hỏi:
24/07/2022 302Cho các số thực \[a,{\rm{ }}b\] thỏa mãn điều kiện \[0 < b < a < 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _a}\frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a.\]
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án D
Ta có \(9{b^2} - 12b + 4 = {\left( {3b - 2} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} \le {b^2}\)
\( \Rightarrow P \ge {\log _a}{b^2} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a = 2{\log _a}b + 8{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{a}}}} \right)^2} = 2{\log _a}b + \frac{8}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}.\)
Đặt \(t = {\log _a}b - 1 > 0 \Rightarrow P \ge 2\left( {t + 1} \right) + \frac{8}{{{t^2}}} = t + t + \frac{8}{{{t^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{t.t.\frac{8}{{{t^2}}}}} + 2 = 8.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{8}{{{t^2}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{t = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{b = {a^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{a = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}}\end{array}} \right.\)
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 3,{\rm{ }}{u_6} = \frac{3}{{32}}.\] Tìm q.
Câu 2:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{4x + 1}}\] là
Câu 3:
Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh bằng 5. Tính thể tích V của khối nón (N).
Câu 4:
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Tính \[a + b + c.\]
Câu 6:
Cho hàm số \[y = \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m\] có đồ thị (C), với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ điểm \[A\left( {\frac{2}{3};0} \right)\] kẻ đến (C) được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của \[S.\]
Câu 7:
Cho hàm số \[y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^5}}}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\]?
về câu hỏi!