Câu hỏi:

24/07/2022 2,270

Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số thực dương thỏa mãn \[b > 1\] \[\sqrt a \le b < a.\] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right)\] bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Ta có \(P = \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}} + 4{\log _b}\frac{a}{b} = \frac{1}{{1 - {{\log }_a}b}} + 4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = \frac{1}{{1 - {{\log }_a}b}} + \frac{4}{{{{\log }_a}b}} - 4.\)

Đặt \(t = {\log _a}b \Rightarrow P = \frac{1}{{1 - t}} + \frac{4}{t} - 4.\)

Từ \(a > \sqrt a \Rightarrow a > 1 \Rightarrow t = {\log _a}b < {\log _a}a \Rightarrow t < 1.\)

Từ \(b \ge \sqrt a \Rightarrow t = {\log _a}b \ge {\log _a}\sqrt a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le t < 1.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{{1 - t}} + \frac{4}{t} - 4\), với \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right)\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)}\\{f'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} - \frac{4}{{{t^2}}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)}\\{t = 2\left( {1 - t} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}.\)

Xét bảng sau:

Cho a,b  là các số thực dương thỏa mãn  b>1 (ảnh 1)

Từ đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};1} \right)} f\left( t \right) = 5\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đáp án C

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a (ảnh 1)

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), gọi \(K = AH \cap BC\).

Kẻ \(HP \bot {\rm{S}}K \Rightarrow d\left( {A;(SBC)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;(SBC)} \right) = \frac{3}{2}HP = d\).

Ta có \(\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}}\). Cạnh \(HK = \frac{{AB}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\)

\(S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} = 4{{\rm{a}}^2} - {\left( {\frac{{AB}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{{11{{\rm{a}}^2}}}{3}\)

\( \Rightarrow HP = a\sqrt {\frac{{11}}{{135}}} \Rightarrow d\left( {A;(SBC)} \right) = \frac{{a\sqrt {165} }}{{15}}\).

Câu 2

Lời giải

Đáp án D

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 1\).

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP