Câu hỏi:
24/07/2022 326Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số thực dương thỏa mãn \[b > 1\] và \[\sqrt a \le b < a.\] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right)\] bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Ta có \(P = \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}} + 4{\log _b}\frac{a}{b} = \frac{1}{{1 - {{\log }_a}b}} + 4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = \frac{1}{{1 - {{\log }_a}b}} + \frac{4}{{{{\log }_a}b}} - 4.\)
Đặt \(t = {\log _a}b \Rightarrow P = \frac{1}{{1 - t}} + \frac{4}{t} - 4.\)
Từ \(a > \sqrt a \Rightarrow a > 1 \Rightarrow t = {\log _a}b < {\log _a}a \Rightarrow t < 1.\)
Từ \(b \ge \sqrt a \Rightarrow t = {\log _a}b \ge {\log _a}\sqrt a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le t < 1.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{{1 - t}} + \frac{4}{t} - 4\), với \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right)\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)}\\{f'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} - \frac{4}{{{t^2}}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)}\\{t = 2\left( {1 - t} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}.\)
Xét bảng sau:
Từ đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};1} \right)} f\left( t \right) = 5\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích bằng \[9{a^3}\] và M là điểm nằm trên cạnh \[CC'\] sao cho \[MC = 2MC'\]. Thể tích khối tứ diện \[AB'CM\] bằng
Câu 2:
Cho \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\] và \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - 3.\] Tích phân \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \] bằng
Câu 3:
Cho hàm số \[y = \frac{{mx + 7m - 8}}{{x - m}}\], với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
Câu 4:
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {2;3;4} \right),{\rm{ }}B\left( {6;2;2} \right).\] Tìm tọa độ của vectơ \[\overrightarrow {AB} .\]
Câu 6:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{4x + 3}}\] là
Câu 7:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\] và \[x = 3\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
về câu hỏi!