Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:$x^2-6xy-4z^2+9y^2$

Phương pháp:

Đưa biểu thức về dạng:$A={\left[f\left(x\right)\right]}^2+a$

Khi đó biểu thức A min khi $f\left(x\right)=0$  và GTNN của A chính bằng a.

Cách giải:

$A=2x^2+10y^2-6xy-6x-2y+16$

$=x^2-6xy+9y^2+x^2-6x+9+y^2-2y+1+6$

$={\left(x-3y\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+6$

Ta có: ${\left(x-3y\right)}^2\ge 0;{\left(x-3\right)}^2\ge 0;{\left(y-1\right)}^2\ge 0$  với mọi x, y

$A\min \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x-3y\right)}^2=0\\ {\left(x-3\right)}^2=0\\ {\left(y-1\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\ x-3=0\\ y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ x=3\\ y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy GTNN của A là 6 khi $x=3$  và $y=1$ .

Phương pháp:

Khai triển hằng đẳng thức ${\left(x-3\right)}^2$ ; áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương và hiệu hai bình phương để nhân 2 đa thức $\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)$ và 2 đa thức $\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)$ ; sau đó phá ngoặc và rút gọn đa thức.

Cách giải:

${\left(x-3\right)}^3-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)$

$=\left(x^3-3.x^2.3+3.x{.3}^2-3^3\right)-\left(x+3\right)\left(x^2-3.x+3^2\right)+\left[{\left(3x\right)}^2-1^2\right]$

$=x^3-9x^2+27x-27-\left(x^3+3^3\right)+9x^2-1$

$=x^3-9x^2+27x-27-x^3-27+9x^2-1$

$=\left(x^3-x^3\right)+\left(-9x^2+9x^2\right)+27x+\left(-27-27-1\right)$

$=27x-55$