Câu hỏi:

02/08/2022 2,053

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có:

$S A = S C \Rightarrow Δ S A C$ cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ A C$

Tam giác SBD vuông cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Trong (SBD), gọi $I = M N \cap B D$

Đặt $\frac{S M}{S B} = x, \frac{S N}{S D} = y (0 < x, y < 1)$

Ta có: $\frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x \Rightarrow \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} x$

\frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A D C}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} y \Rightarrow \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} y

\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x + y}{4} (1)

Ta lại có: $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B D}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S D} = x y \Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2}$

\frac{V_{S . M N E}}{V_{S . B D C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x y \Rightarrow \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C C}} = \frac{x y}{4}

\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2} + \frac{x y}{4} = \frac{3 x y}{4} (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x + y}{4} = \frac{3 x y}{4} \Leftrightarrow x + y = 3 x y$

\Leftrightarrow x = (3 x - 1) y \Leftrightarrow y = \frac{x}{3 x - 1} (x \neq \frac{1}{3})

Do $x, y > 0 \Rightarrow 3 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Khi đó ta có $\frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} (x + \frac{x}{3 x - 1})$

Xét hàm số $f (x) = x + \frac{x}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$ ta có:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x - 1 = 1 \\ 3 x - 1 = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ x = 0 (k t m) \end{matrix}$
BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy $\min V_{S . A M N E} = \frac{1}{4} . \frac{4}{3} V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}$

$\Rightarrow \max V_{A B C D N E M} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D}$
Ta có: $Δ A B D$ đều cạnh 2 $(A B = A D, ∠ B A D = 60^{0}) \Rightarrow S_{A B D} = \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

\Rightarrow S_{A B C D} = 2 \sqrt{3}

Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên

S O = \frac{1}{2} B D = 1

\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .1.2 \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Vậy $V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$
Đáp án cần chọn là: D

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Xem đáp án » 01/08/2022 3,084

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,350

Câu 3:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,194

Câu 4:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án » 02/08/2022 2,014

Câu 5:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án » 02/08/2022 1,176

Câu 6:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_{2}$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

D. $\frac{11}{35}$

Xem đáp án » 02/08/2022 984

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?