Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt $\alpha =\widehat{CAB}$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm $\alpha$ sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình trụ có chiều cao bằng $6\sqrt{2}$cm. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB=A'B'=6cm, diện tích tứ giác ABB'A' bằng 60$c{m}^2$. Tính bán kính đáy của hình trụ.

Cho tứ diện ABCD có AB=BC=CD=2, AC=BD=1, AD=$\sqrt{3}$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD,DC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích $84\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.

Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc $60°$ tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$?

Một hình hộp chữ nhật P nội tiếp trong một hình cầu có bán kính R. Tổng diện tích các mặt của P là 384 và tổng độ dài các cạnh của P là 112. Bán kính R của hình cầu là.