Bài tập cuối chương 1

a) 4 . 25 – 12 . 5 + 170 : 10 

= 100 – 60 + 17               

= 40 + 17 

= 57.

b) (7 + 3³ : 3²) . 4 – 3

= (7 + 3^{3 – 2}) . 4 – 3 

= (7 + 3¹) . 4 – 3 

= (7 + 3) . 4 – 3

= 10 . 4 – 3

= 40 – 3 = 37.

c) 12 : {400 : [500 – (125 + 25 . 7)]}

= 12 : {400 : [500 – (125 + 175)]}

= 12 : [400 : (500 – 300)]

= 12 : (400 : 200) 

= 12 : 2 

= 6.

d) 168 + {[2 . (2⁴ + 3²) – 256⁰] : 7²}

= 168 + {[2 . (16 + 9) – 1] : 49}

= 168 + [(2. 25 – 1) : 49]

= 168 + [(50 – 1) : 49]

= 168 + (49 : 49)

= 168 + 1 = 169. 

Ta có: P là tập hợp các số nguyên tố.

a) Vì 2 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên 2 là số nguyên tố hay 2 thuộc P.

Do đó 2  P. 

b) Vì 47 chỉ có hai ước là 1 và 47, nên 47 là số nguyên tố hay 47 thuộc P. 

Do đó 47  P. 

c) Ta có: a = 3 . 5 . 7 . 9 + 20 = 15 . 7 . 9 + 20 = 105 . 9 + 20 = 945 + 20 = 965

Vì 965 : 5 = 193 nên số 965 ngoài có hai ước là 1 và 965, còn có thêm ít nhất một ước nữa là 5 nên 965 hay a là hợp số.

Do đó a không phải là số nguyên tố nên a không thuộc P.

Vậy a  P. 

d) Ta có: b = 5 . 7 . 11 + 13 . 17 = 35 . 11 + 221 = 385 + 221 = 606

Vì 606 : 6 = 101 nên số 606 ngoài có hai ước là 1 và 606, còn có thêm ít nhất một ước nữa là 6 nên 606 là hợp số hay b là hợp số.

Do đó b không phải là số nguyên tố nên b không thuộc P.

Vậy b  P. 

Ta có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách viết "theo cột dọc" hoặc "rẽ nhánh".

a) Ta có:

Vậy 51 = 3 . 17.

b) Ta có: 

Vậy 76 = 2 . 2 . 19 = 2² . 19.

c) Ta có: 

Vậy 225 = 3 . 3 . 5 . 5 = 3² . 5². 

 d) Ta có: 1 800 = 10 . 180 

Vậy 1 800 = 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3² . 5².

a) 40 và 60

Ta có: 

Do đó: 40 = 2 . 2 . 2 . 5 = 2³ . 5 

60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2² . 3 . 5

Các thừa số nguyên tố chung của 40 và 60 là 2 và 5

Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 2; số 5 có số mũ nhỏ nhất là 1

Vậy ƯCLN(40, 60) = 2² . 5¹ = 4 . 5 = 20.

b) 16 và 124

Ta có: 16 = 2⁴ 

Lại có 

Do đó: 124 = 2 . 2 . 31 = 2² . 31

Thừa số nguyên tố chung của 16 và 124 là 2, với số mũ nhỏ nhất là 2.

Vậy ƯCLN(16, 124) = 2² = 4. 

c) 41 và 47

Ta có: số 41 chỉ có hai ước là 1 và 41 nên 41 là số nguyên tố

Số 47 chỉ có hai ước là 1 và 47 nên 47 cũng là số nguyên tố

Do đó 41 và 47 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy ƯCLN(41, 47) = 1.

a) 72 và 540 

Ta có: 

Do đó: 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3²

540 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 5 = 2² . 3³ . 5

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 72 và 540 là 2, 3, 5

Số hai có số mũ lớn nhất là 3; số 3 có số mũ lớn nhất là 3; số 5 có số mũ lớn nhất là 1.

Vậy BCNN(72, 540) = 2³ . 3³ . 5¹ = 8 . 27 . 5 = 1 080.

b) 28, 49, 64 

Ta có: 28 = 4 . 7 = 2² . 7

49 = 7²; 64 = 2⁶ 

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 28, 49 và 64 là 2, 7

Số 2 có số mũ lớn nhất là 6, số 7 có số mũ lớn nhất là 2.

Vậy BCNN(28, 49, 64) = 2⁶ . 7² = 64 . 49 = 3 136.

c) 43 và 53

Ta có: 43 chỉ có hai ước là 1 và 43 nên 43 là số nguyên tố

53 chỉ có hai ước là 1 và 53 nên nó cũng là số nguyên tố

Do đó 43 và 53 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy BCNN(43, 53) = 43 . 53 = 2 279. 

Người ta dựng cột điện dọc theo hai bên của một con đường nên ta tính số cột điện cần phải dựng thêm mới trong một bên trước, sau đó nhân đôi lên, ta được tổng tất cả số cột điện mới cần dựng trên cả con đường. 

Do số cột điện cũ dựng ở một bên đường được bắt đầu dựng từ đầu đường tới hết con đường và các cột điện được dựng cách nhau 75 m nên vị trí dựng các cột điện này là bội của 75 và không quá 1500. 

Mà các bội của 75 và không quá 1500 là: 0; 75; 150; 225; 300; 375; 450; 525; 600; 675; 750; 825; 900; 975; 1050; 1125; 1200; 1275; 1350; 1425; 1500.

Do đó ta có 21 cột điện cũ được dựng một bên đường (thứ tự từ cột 1 đến cột 21 tương ứng với các vị trí đặt cột từ vị trí 0 m đến 1500 m). 

Để tăng cường ánh sáng, người ta dựng lại các cột điện cũng bắt đầu từ đầu đường, cách nhau 50 m và tận dụng lại các cột cũ không phải dời đi, có nghĩa các vị trí cột cũ không phải dời đi là các bội chung của 50; 75 và không quá 1500.

Ta có: 50 = 2 . 25 = 2 . 5²; 75 = 3 . 25 = 3 . 5² 

Suy ra BCNN(50, 75) = 2 . 3 . 5² = 150. 

Do đó ta có các bội chung của 50; 75 và không quá 1500 là bội của BCNN(50,75) = 150 và không quá 1500, đó là: 0; 150; 300; 450; 600; 750; 900; 1050; 1200; 1350; 1500. 

Nên ta có 11 cột cũ được giữ lại tận dụng, tương ứng với thứ tự các cột điện cũ ở một bên là cột 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21.

Mà khoảng cách giữa các cột cũ là đều nhau và bằng 150 m và có 10 khoảng cách cần dựng thêm cột điện mới. 

Cho nên ta cần dựng thêm 2 cột điện mới ở vị trí cộng thêm 50 m và 100 m trong từng khoảng cách giữa hai cột cũ được giữ lại. 

Do đó, ở một bên đường, ta cần dựng thêm:

2 . 10 = 20 (cột điện mới) 

Suy ra ở cả hai bên đường, ta cần dựng thêm số cột điện mới là: 

20 . 2 = 40 (cột điện mới)

Tổng chi phí cần thiết để hoàn thành dựng cột điện mới cho con đường là:

4 000 000 . 40 = 160 000 000 (đồng)

Vậy tổng chi phí cần thiết để hoàn thành dựng cột điện mới cho con đường là 160 triệu đồng.