Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của $∠ A$ của tam giác ABC lần lượt cắt BC tại D, E có AD = AE

Chứng minh $A B^{2} + A C^{2} = 4 R^{2}$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 23 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của (ảnh 1)

AD cắt cung BC tại F. Vẽ đường kính AC của đường tròn (ABC)

Ta có: $∠ A B G = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$s d \overset{⏜}{G B} + s d \overset{⏜}{F C} + s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F} = s d \overset{⏜}{A C G} = 180^{0}$

$∠ B A F = ∠ F A C$ (AD là phân giác) $\Rightarrow s d \overset{⏜}{B F} = s d \overset{⏜}{F C}$

Nên AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù $∠ B A C, ∠ C A x$ nên $∠ D A E = 90^{0} (1)$
$Δ D A E$ vuông góc có $A D = A E (g t) \Rightarrow Δ D A E$ vuông cân $\Rightarrow ∠ A D E = 45^{0} (2)$

sđ $\overset{⏜}{A D E} = \frac{s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F}}{2} \Rightarrow s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F} = 90^{0} (3)$

Từ (1), (2), (3) có $\overset{⏜}{G B} = \overset{⏜}{A C} \Rightarrow G B = A C$

$Δ B A G$ vuông tại B nên $A B^{2} + B G^{2} = A G^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 4 R^{2}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc 3km/hthì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là vận tốc dự định ban đầu (km/h) (x > 3)

y là thời gian dự định ban đầu (y > 0), độ dài khúc sông là xy (km)

Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h nên ta có phương trình: $(x + 3) (y - 2) = x y (1)$

Nếu cano giảm vận tốc 3km/h thì đến nơi chậm $3 h \Rightarrow (x - 3) (y + 3) = x y (2)$

Từ (1), (2) ta có hệ $\{\begin{cases} (x + 3) (y - 2) = x y \\ (x - 3) (y + 3) = x y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 x + 3 y = 6 \\ 3 x - 3 y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = 15 \end{cases}$

Vậy khúc sông $A B = 12.15 = 180 (k m)$

Câu 2

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng 2m thì diện tích giảm $140 m^{2} .$ Tính diện tích mảnh đất đó.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều dài mảnh đất là x (m), chiều rộng mảnh đất là y (m) (x, y > 0)

Theo bài ta có: $\{\begin{cases} 2 (x + y) = 90 \\ (x - 5) (y - 2) = x y - 140 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 45 \\ 2 x + 5 y = 150 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 25 \\ y = 20 \end{cases} (t m)$

Diện tích mảnh đất: $25.20 = 500 (m^{2})$

Câu 3