$\overset{⏜}{A M} = \overset{⏜}{M B} (g t), \overset{⏜}{A N} = \overset{⏜}{N C} (g t)$
$\Rightarrow ∠ A D E = \frac{s d \overset{⏜}{A N} + s d \overset{⏜}{M B}}{2}$ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

$∠ A E D = \frac{s d \overset{⏜}{N C} + s d \overset{⏜}{A M}}{2}$ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

$\Rightarrow ∠ A D E = ∠ A E D \Rightarrow Δ A D E$ cân tại A $\Rightarrow A D = A E$

Câu 2/18

Cho đường tròn (O), các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó ở trên đường tròn. Điểm M ở trên cung AB và MA = MB. Giao điểm của MC, MD với dây AB là E, K.

Chứng minh $∠ K E C + ∠ K D C = 180^{0}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O), các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó ở trên đường tròn. Điểm (ảnh 1)

A M = M B (g t) \Rightarrow \overset{⏜}{A M} = \overset{⏜}{M B}

∠ K E C = \frac{s d \overset{⏜}{M B} + s d \overset{⏜}{A C}}{2}

(góc có đỉnh bên trong đường tròn)

$∠ K D C = \frac{s d \overset{⏜}{M C}}{2}$ (góc nội tiếp). Do đó:

$∠ K E C + ∠ K D C = \frac{s d \overset{⏜}{M B} + s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{M C}}{2} = \frac{s d \overset{⏜}{M A} + s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{M C}}{2} = \frac{360^{0}}{2} = 180^{0}$

Câu 3/18

Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung AB, BC, AC. Gọi I là giao điểm của AB và MN, K là giao điểm của AN, BP. Chứng minh rằng:

$a) Δ B N K$ cân $b) I K / / B C c) A I . B N = I B . A N$

Xem đáp án

Lời giải

Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm (ảnh 1)

Ta có: $∠ P B N = \frac{1}{2} (s d \overset{⏜}{P C} + s d \overset{⏜}{C N})$ (góc nội tiếp cùng chắn $\overset{⏜}{P N})$

$∠ B C N = \frac{1}{2} (s d \overset{⏜}{A P} + s d \overset{⏜}{B N})$ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà PC = AP và $C N = B N (g t) \Rightarrow ∠ P B N = ∠ B C N$

Dễ thấy $∠ A N M = ∠ B N M$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) nên NI là phân giác $∠ A N B$

Ta có: $\frac{A I}{I B} = \frac{A N}{B N} \Rightarrow A I . B N = I B . A N$

Theo chứng minh trên (câu a, b) , $Δ B N K$ cân có NI là đường phân giác . Do đó IN cũng là đường trung trực của cạnh $B K \Rightarrow I B = I K \Rightarrow Δ B I K$ cân $\Rightarrow ∠ I B K = ∠ I K B$ hay $∠ A B D = ∠ I K B (1)$ mà $∠ A P B = ∠ C B P (2)$ (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Từ (1) và (2) suy ra $∠ C B D = ∠ I K P \Rightarrow I K / / B C$

Câu 4/18

Cho đường tròn (O). Một dây AB lấy C thuộc tia đối của tia BA. Từ C kẻ các tiếp tuyến CM, CN với đường tròn $(M \in \overset{⏜}{A B}$ nhỏ, $N \in \overset{⏜}{A B}$ lớn), lấy D là điểm chính giữa của cung lớn AB.DM cắt AB tại E

a) Chứng minh CM = CE

b) Chứng minh $E A . N B = N A . E B$

c) Gọi I là trung điểm của dây ab. Chứng minh rằng 5 điểm $M, C, N, O, I$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O). Một dây AB lấy C thuộc tia đối của tia BA. Từ C kẻ các (ảnh 1)

a) Ta có:

$\begin{array}{l} ∠ C M D = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{D B M} = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{B M} + \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{B N D} \\ ∠ C E M = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{B M} + \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{A D} \end{array}$

Mà D là điểm chính giữa cung AB $\Rightarrow s d \overset{⏜}{A D} = s d \overset{⏜}{B N D}$

$\Rightarrow ∠ C M D = ∠ C E M \Rightarrow Δ C M E$ cân tại A $\Rightarrow C M = C E$

b) Xét $Δ C N B, Δ C A N$ có: $∠ N C A$ chung; $∠ C N B = ∠ C A N \Rightarrow Δ C N B ~ Δ C A N (g - g)$

$\Rightarrow \frac{N B}{N A} = \frac{N C}{A C} = \frac{M C}{A C} = \frac{E C}{A C} (*)$ . Lại có: $C N^{2} = C A . C B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C E^{2} = C A . C B (D o C N = C M = C E) \\ \Rightarrow C E^{2} = (E C - B E) . C A = C E . C A - C A . B E \\ \Rightarrow C E . C A - C E^{2} = C A . B E \\ \Rightarrow C E . (C A - C E) = C A . B E \Rightarrow C E . E A = C A . B E \Rightarrow \frac{E A}{E B} = \frac{C A}{C E} (* *) \end{array}$

Từ $(*), (* *) \Rightarrow \frac{N B}{N A} = \frac{E B}{E A} \Rightarrow E A . N B = E B . N A$

c) I là trung điểm của dây AB $\Rightarrow O I ⊥ A B$ tại I $\Rightarrow ∠ O I C = 90^{0}$

Ta có: $∠ O N C = ∠ O M C = ∠ O I C = 90^{0} \Rightarrow 5$ điểm $M, C, N, O, I$ thuộc đường tròn đường kính OC.

Câu 5/18

Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của $∠ A$ của tam giác ABC lần lượt cắt BC tại D, E có AD = AE

Chứng minh $A B^{2} + A C^{2} = 4 R^{2}$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của (ảnh 1)

AD cắt cung BC tại F. Vẽ đường kính AC của đường tròn (ABC)

Ta có: $∠ A B G = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$s d \overset{⏜}{G B} + s d \overset{⏜}{F C} + s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F} = s d \overset{⏜}{A C G} = 180^{0}$

$∠ B A F = ∠ F A C$ (AD là phân giác) $\Rightarrow s d \overset{⏜}{B F} = s d \overset{⏜}{F C}$

Nên AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù $∠ B A C, ∠ C A x$ nên $∠ D A E = 90^{0} (1)$
$Δ D A E$ vuông góc có $A D = A E (g t) \Rightarrow Δ D A E$ vuông cân $\Rightarrow ∠ A D E = 45^{0} (2)$

sđ $\overset{⏜}{A D E} = \frac{s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F}}{2} \Rightarrow s d \overset{⏜}{A C} + s d \overset{⏜}{B F} = 90^{0} (3)$

Từ (1), (2), (3) có $\overset{⏜}{G B} = \overset{⏜}{A C} \Rightarrow G B = A C$

$Δ B A G$ vuông tại B nên $A B^{2} + B G^{2} = A G^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 4 R^{2}$

Câu 6/18

Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc 3km/hthì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là vận tốc dự định ban đầu (km/h) (x > 3)

y là thời gian dự định ban đầu (y > 0), độ dài khúc sông là xy (km)

Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h nên ta có phương trình: $(x + 3) (y - 2) = x y (1)$

Nếu cano giảm vận tốc 3km/h thì đến nơi chậm $3 h \Rightarrow (x - 3) (y + 3) = x y (2)$

Từ (1), (2) ta có hệ $\{\begin{cases} (x + 3) (y - 2) = x y \\ (x - 3) (y + 3) = x y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 x + 3 y = 6 \\ 3 x - 3 y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = 15 \end{cases}$