Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

\[\frac{{\tan {\rm{A}}}}{{\tan {\rm{B}}}} = \frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\].

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bcosA

⇒ cosA = \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}\)

Tương tự: cosB = \(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\)

Theo định lí côsin ta có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = 2{\rm{R}}\)

⇒ sinA = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\) và sinB = \(\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{2R}}}}\)

Ta có:

\(\frac{{{\rm{tanA}}}}{{{\rm{tanB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{sinA}}}}{{{\rm{cosA}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{cosB}}}}{{{\rm{sinB}}}}\) = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\).\(\frac{{2{\rm{bc}}}}{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\).\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\).\(\frac{{{\rm{2R}}}}{{\rm{b}}}\) = \[\frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\] (ĐPCM).