Câu hỏi:

19/06/2025 4,999

Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

\[\frac{{\tan {\rm{A}}}}{{\tan {\rm{B}}}} = \frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bcosA

cosA = \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}\)

Tương tự: cosB = \(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\)

Theo định lí côsin ta có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = 2{\rm{R}}\)

sinA = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\) và sinB = \(\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{2R}}}}\)

Ta có:

\(\frac{{{\rm{tanA}}}}{{{\rm{tanB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{sinA}}}}{{{\rm{cosA}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{cosB}}}}{{{\rm{sinB}}}}\) = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\).\(\frac{{2{\rm{bc}}}}{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\).\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\).\(\frac{{{\rm{2R}}}}{{\rm{b}}}\) = \[\frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\] (ĐPCM).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một tháp viễn thông cao 42 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34° so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33 m như Hình 2. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta biểu diễn lại hình như trên. AB là độ dài sợi dây cáp. AC là độ dài tháp. Như vậy AC = 42 m, BC = 33 m, \(\widehat {{\rm{CMH}}}\) = 34°, \(\widehat {{\rm{MHC}}}\)= 90°.

Xét tam giác MCH: \(\widehat {{\rm{MCH}}} + \widehat {{\rm{MHC}}} + \widehat {{\rm{CMH}}}\) = 180°.

⇒ \(\widehat {{\rm{MCH}}}\) = 180° – 90° – 34° = 56°.

\(\widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(\widehat {{\rm{MCH}}}\)là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {{\rm{ACB}}}\) = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cos\(\widehat {{\rm{ACB}}}\)

AB² = 42² + 33² – 2.42.33.cos56°

AB = \[\sqrt {{{42}^2} + {\rm{ }}{{33}^2}--{\rm{ }}2.42.33.{\rm{cos}}56^\circ } \]

AB ≈ 36,1 m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m.

Câu 2

Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc 15° về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45° về phía tây với vận tốc 600 km/h ( Hình 1). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Media VietJack

Ta có: \(\widehat {{\rm{AOB}}}\) = 180° – 15° – 45° = 120°.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến A đi được quãng đường là: 800.3 = 2 400 km.

Hay OA = 2 400.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến B đi được quãng đường là: 600.3 = 1 800 km.

Hay OB = 1 800.

Sau 3 giờ, hai máy bay A, B và điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 và OB = 1800. Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta được:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos\(\widehat {{\rm{AOB}}}\)

AB² = 2400² + 1800² – 2.1800.2400.cos120°

AB = \(\sqrt {{{2400}^2} + {\rm{ }}{{1800}^2}--{\rm{ }}2.1800.2400.{\rm{cos}}120^\circ } \)

AB ≈ 3650 km

Vậy sau 3 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km.

Câu 3