Cho $\widehat{xOy}$ $\left(0°<\widehat{xOy}<90°\right)$, Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ và H là một điểm bất kì thuộc tia Ot. Qua H, lần lượt vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và đường thằng vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Hỏi OH là đường trung trực của đoạn thẳng:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆HAO và ∆HBO, có:

$\widehat{HAO}=\widehat{HBO}=90°$.

$\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (do OH là phân giác của $\widehat{xOy}$).

OH là cạnh chung.

Do đó ∆HAO = ∆HBO (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = HB và OA = OB (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó H và O nằm trên đường trung trực của AB

Khi đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó đáp án B đúng.

Xét ∆OAC và ∆OBD, có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OBD}=90°$.

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{AOB}$ là góc chung.

Do đó ∆OAC = ∆OBD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OC = OD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó O nằm trên đường trung trực của CD (1)

Xét ∆HBC và ∆HAD, có:

$\widehat{BHC}=\widehat{AHD}$ (hai góc đối đỉnh).

HA = HB (chứng minh trên).

$\widehat{HBC}=\widehat{HAD}=90°$.

Do đó ∆HBC = ∆HAD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra HC = HD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H nằm trên đường trung trực của CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra OH là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó đáp án C đúng.

Ta có BD không vuông góc với AB.

Mà OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Nên OH không thể là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Do đó đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án D.