Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính ∫0π2x.f'xdx. A. −π4; B. 14; C. π4; D. −14.

Đáp án đúng là: D +) Thay x = 0 vào phương trình fx+fπ2−x=sinx.cosx ta có f0+fπ2=0⇒fπ2=0 fx+fπ2−x=sinx.cosx ⇒∫0π2fx+fπ2−xdx=∫0π2sinx.cosxdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π22.sinx.cosxdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π2sin2xdx Đặt: u=π2−x⇒du=−dx Đổi cận +) x=0⇒u=π2 +) x=π2⇒u=0 Phương trình (1) trở thành ⇔∫0π2fxdx−∫π20fudu=12∫0π2sin2xdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fudu=−14∫0π2−2sin2xdx ⇔2∫0π2fxdx=−14cos2x0π2 ⇔∫0π2fxdx=−18cos2x0π2=18+18=14 Ta có: ∫0π2x.f'xdx Đặt u=x⇒du=dx dv=f'xdx⇒v=fx Vậy suy ra ∫0π2x.f'xdx=x.fx0π2−∫0π2fxdx =π2.fπ2−14=−14.

Câu hỏi:

18/08/2022 4,687

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .$

A. $- \frac{π}{4};$

B. $\frac{1}{4};$

C. $\frac{π}{4};$

D. $- \frac{1}{4} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 0 vào phương trình $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$ ta có

$f (0) + f (\frac{π}{2}) = 0 \Rightarrow f (\frac{π}{2}) = 0$

$f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$

$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (\frac{π}{2} - x)] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2. \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

Đặt: $u = \frac{π}{2} - x \Rightarrow d u = - d x$

Đổi cận

+) $x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}$

+) $x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 0$

Phương trình (1) trở thành

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (u) d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (u) d u = - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{4} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{8} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = f' (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Vậy suy ra

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x = {x . f (x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$= \frac{π}{2} . f (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

A. $- \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C;$

B. $\ln |1 - 2 x| + C;$

C. $\frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C;$

D. $- \frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C .$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ là

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x = \frac{- 1}{2} . \int \frac{- 2}{1 - 2 x} d x$

$= \frac{- 1}{2} . \ln |1 - 2 x| + C = - \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

Câu 2

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

A. $S = \frac{1}{2};$

B. $S = \frac{1}{6};$

C. $S = \frac{5}{2};$

D. $S = \frac{6}{5} .$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x là nghiệm của phương trình

2x - x² = 2 - x

Û x.(2 - x) = 2 - x

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 - x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \end{matrix}$

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

$S = \int_{1}^{2} |(2 x - x^{2}) - (2 - x)| d x$

$= \int_{1}^{2} |3 x - x^{2} - 2| d x = \int_{1}^{2} (3 x - x^{2} - 2) d x$

${= (\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x)|}_{1}^{2}$

$= (\frac{{3.2}^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3} - 2.2) - (\frac{{3.1}^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3} - 2.1)$

$= - \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} .$

Câu 3

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x;$

B. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

C. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

D. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

A. (-2; 3; -7);

B. (2; 2; 7);

C. (2; -2; -7);

D. (2; -2; 7).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{3};$

B. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3};$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{3};$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 3}{1} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x}$ ; y = x - 2 và trục hoành.

A. $\frac{11}{3};$

B. $\frac{7}{3};$

C. $\frac{10}{3};$

D. $\frac{8}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$

A. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C;$

B. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C;$

C. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C;$

D. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính ∫0π2x.f'xdx.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=11−2x trên khoảng 12;+∞.

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x2 và y = 2 - x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm sốy=x ; y = x - 2 và trục hoành.

Cho Fx=12x2 là một nguyên hàm của hàm số fxx . Tìm họ nguyên hàm của hàm số f'xlnx.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x}$ ; y = x - 2 và trục hoành.

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$