Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính ∫0π2x.f'xdx. A. −π4; B. 14; C. π4; D. −14.

Đáp án đúng là: D +) Thay x = 0 vào phương trình fx+fπ2−x=sinx.cosx ta có f0+fπ2=0⇒fπ2=0 fx+fπ2−x=sinx.cosx ⇒∫0π2fx+fπ2−xdx=∫0π2sinx.cosxdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π22.sinx.cosxdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=12∫0π2sin2xdx Đặt: u=π2−x⇒du=−dx Đổi cận +) x=0⇒u=π2 +) x=π2⇒u=0 Phương trình (1) trở thành ⇔∫0π2fxdx−∫π20fudu=12∫0π2sin2xdx ⇔∫0π2fxdx+∫0π2fudu=−14∫0π2−2sin2xdx ⇔2∫0π2fxdx=−14cos2x0π2 ⇔∫0π2fxdx=−18cos2x0π2=18+18=14 Ta có: ∫0π2x.f'xdx Đặt u=x⇒du=dx dv=f'xdx⇒v=fx Vậy suy ra ∫0π2x.f'xdx=x.fx0π2−∫0π2fxdx =π2.fπ2−14=−14.

Câu hỏi:

18/08/2022 3,769

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .$

A. $- \frac{π}{4};$

B. $\frac{1}{4};$

C. $\frac{π}{4};$

D. $- \frac{1}{4} .$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 0 vào phương trình $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$ ta có

$f (0) + f (\frac{π}{2}) = 0 \Rightarrow f (\frac{π}{2}) = 0$

$f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$

$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (\frac{π}{2} - x)] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2. \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

Đặt: $u = \frac{π}{2} - x \Rightarrow d u = - d x$

Đổi cận

+) $x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}$

+) $x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 0$

Phương trình (1) trở thành

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (u) d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (u) d u = - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{4} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{8} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = f' (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Vậy suy ra

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x = {x . f (x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$= \frac{π}{2} . f (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} .$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

A. $- \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C;$

B. $\ln |1 - 2 x| + C;$

C. $\frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C;$

D. $- \frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C .$

Xem đáp án » 17/08/2022 12,216

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{3};$

B. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3};$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{3};$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 3}{1} .$

Xem đáp án » 17/08/2022 6,386

Câu 3:

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$

A. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C;$

B. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C;$

C. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C;$

D. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C .$

Xem đáp án » 17/08/2022 5,683

Câu 4:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

A. $S = \frac{1}{2};$

B. $S = \frac{1}{6};$

C. $S = \frac{5}{2};$

D. $S = \frac{6}{5} .$

Xem đáp án » 17/08/2022 5,624

Câu 5:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x;$

B. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

C. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

D. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x .$

Xem đáp án » 17/08/2022 4,837

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 2}{1}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. Q(1; 0; -2);

B. P(1; 0; 2);

C. N(2; 3; 1);

D. M(-1; 0; 2).

Xem đáp án » 17/08/2022 4,667

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

A. (-2; 3; -7);

B. (2; 2; 7);

C. (2; -2; -7);

D. (2; -2; 7).

Xem đáp án » 17/08/2022 4,375

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .$

Nhà sách VIETJACK:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 2}{1}$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính ∫0π2x.f'xdx.

Nhà sách VIETJACK:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=11−2x trên khoảng 12;+∞.

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

Cho Fx=12x2 là một nguyên hàm của hàm số fxx . Tìm họ nguyên hàm của hàm số f'xlnx.

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x2 và y = 2 - x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:x−12=y−3=z+21 đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 2}{1}$ đi qua điểm nào dưới đây?