Cho ∆ABC cân tại A có $\widehat{A}=45°$. Kẻ đường trung tuyến AM, đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = BD. Khẳng định nào sau đây sai?

Đáp án đúng là: D

• Vì điểm D thuộc đường trung trực của cạnh AC nên DA = DC.

Do đó ∆ACD cân tại D.

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=45°$ (tính chất tam giác cân)

• Xét ∆ACD cân tại D có $\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=45°$

Nên ∆ACD vuông cân tại D.

Suy ra CD ⊥ AB.

Vì vậy đáp án B đúng.

• Xét ∆BCD và ∆CBE, có:

BC là cạnh chung.

CE = BD (giả thiết).

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90°$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy BE ⊥ AC.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, BE, CD là ba đường cao.

Suy ra AM, BE, CD đồng quy tại một điểm, điểm đó là trực tâm của ∆ABC.

Do đó đáp án C đúng, đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.