Tìm điều kiện của x để biểu thức $\frac{x+1}{x-3}$ có nghĩa.

a) Với x = 9

Thay vào A ta có : $A=\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x}=\frac{4\left(\sqrt{9}+1\right)}{25-9}=\frac{4.\left(3+1\right)}{16}=1$

b)

Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có         

$$\begin{gathered} B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5} \\ B=\left[\frac{15-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5} \\ B=\frac{15-\sqrt{x}+2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5} \\ B=\frac{15-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5} \\ B=\frac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1} \\ B=\frac{1}{\sqrt{x}+1} \end{gathered}$$

c) Ta có $P=A.B=\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}$.

Để P nhận giá trị nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ thì $4⋮\left(25-x\right)$ hay $25-x\in U_{\left(4\right)}=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}$.

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

a) 

$$\begin{gathered} H=\frac{2x^2+2x}{x^2-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{2x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1} \\ =\frac{2x}{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{2x}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1} \end{gathered}$$

b) Theo đề bài ta có $\sqrt{x}-H<0\iff \sqrt{x}-2<\iff \sqrt{x}<2\iff x<4$

Kết hợp điều kiện $x\ge 0;x\ne 1$ ta có $0\le x<4;x\ne 1$

Vậy với $0\le x<4;x\ne 1$ thì $\sqrt{x}-H<0$