Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và an+1=−32an2+52an+1,∀n∈N*. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a2018=a2 B. a2018=a1 C. a2018=a3 D. a2018=a4

Câu hỏi:

25/08/2022 627

Cho dãy số (a_n) xác định bởi a₁ = 1 và $a_{n + 1} = - \frac{3}{2} a_{n}^{2} + \frac{5}{2} a_{n} + 1, \forall n \in N *$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a_{2018} = a_{2}$

B. $a_{2018} = a_{1}$

C. $a_{2018} = a_{3}$

D. $a_{2018} = a_{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương pháp quy nạp toán học và dãy số !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trả lời:

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

$a_{1} = 1$

$a_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} + 1 = 2$

a_{3} = - \frac{3}{2} .4 + \frac{5}{2} .2 + 1 = 0

$a_{4} = - \frac{3}{2} .0 + \frac{5}{2} .0 + 1 = 1$

a_{5} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} + 1 = 2

$a_{6} = - \frac{3}{2} .4 + \frac{5}{2} .2 + 1 = 0$

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán $a_{n + 3} = a_{n}, \forall n \geq 1$

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với $n = 1, a_{1} = a_{4} = 1$

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là $a_{k + 3} = a_{k}$ , ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh $a_{k + 4} = a_{k + 1}$

Ta có :

$a_{k + 4} = - \frac{3}{2} a_{k + 3}^{2} + \frac{5}{2} a_{k + 3} + 1$

a_{k + 1} = - \frac{3}{2} a_{k}^{2} + \frac{5}{2} a_{k} + 1

Mà $a_{k + 3} = a_{k} \Rightarrow a_{k + 4} = a_{k + 1}$ , vậy $a_{n + 3} = a_{n}, \forall n \geq 1$

Tổng quát $a_{3 n + m} = a_{m}, \forall m, n \in N *$

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2

Từ đó ta suy ra $a_{2018} = a_{3.672 + 2} = a_{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số (u_n), biết u_n= (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. u₁= −2.

B. u₂= 4.

C. u₃= −6.

D. u₄= −8.

Lời giải

Trả lời:

Ta có:

u₁= −2.1 = −2;

u₂= (−1)².2.2 = 4;

u₃= (−1)³2.3 = −6;

u₄= (−1)⁴2.4 = 8

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $u_{n} = u_{n - 1} + 2 n$ với mọi n ≥ 2. Khi đó u₅₀ bằng:

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Lời giải

Trả lời:

Ta có:

$u_{1} = \frac{1}{2}$

$u_{2} = u_{1} + 2.2 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{2} + 2.2$

$u_{3} = u_{2} + 2.3 = \frac{1}{2} + 4 + 6 = \frac{1}{2} + 2. (2 + 3)$

$u_{4} = u_{3} + 2.4 = \frac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \frac{1}{2} + 2. (2 + 3 + 4)$

…..

Dự đoán số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + ... + n) (*), \forall n \geq 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy (∗) đúng với n = 2.

Giả sử (∗) đúng đến n = k ≥ 2 , tức là $u_{k} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + ... + k)$ ,

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

$u_{k + 1} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + ... + k + 1)$

Ta có:

$u_{k + 1} = u_{k} + 2 (k + 1)$

$u_{k + 1} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + .. + k) + 2 (k + 1)$

$u_{k + 1} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + .. + k + k + 1)$

Vậy (∗) đúng với mọi n ≥ 2.

Mặt khác ta có:

$1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

$\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} - 1$

Khi đó số hạng:

$u_{50} = \frac{1}{2} + 2 (2 + 3 + ... + 50)$

$\Rightarrow u_{50} = \frac{1}{2} + 2 (\frac{50.51}{2} - 1)$

$\Rightarrow u_{50} = 2548,5$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho dãy số (u_n), biết , $\{\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix}$ với $n \geq 1$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

A. −1; 2; 5.

B. 2; 5; 8

C. 4; 7; 10.

D. −1; 3; 7.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{- n}{n + 1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $- \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}$

B. $- \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}; - \frac{6}{7}$

C. $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}$

D. $0; - \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

A. 1;1;1;1;1;1;⋯

B. $1; - \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$

C. 1;3;5;7;9;⋯

D. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giá trị của tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + ... −2n + (2n + 1) là:

A. 1

B. 0

C. 5

D. n + 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \frac{1}{2}; u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (n + 1) u_{n} + 1}, n \geq 1$ .

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} < \frac{2017}{2018}$ . Khi n có giá trị dương lớn nhất là:

A. 2017

B. 2015

C. 2016

D. 2014

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho dãy số (a_n) xác định bởi a₁ = 1 và $a_{n + 1} = - \frac{3}{2} a_{n}^{2} + \frac{5}{2} a_{n} + 1, \forall n \in N *$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho dãy số (u_n), biết u_n= (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $u_{n} = u_{n - 1} + 2 n$ với mọi n ≥ 2. Khi đó u₅₀ bằng:

Cho dãy số (u_n), biết , $\{\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix}$ với $n \geq 1$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{- n}{n + 1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \frac{1}{2}; u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (n + 1) u_{n} + 1}, n \geq 1$ .

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} < \frac{2017}{2018}$ . Khi n có giá trị dương lớn nhất là: