Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số y = f(x⁴) và y = x². f(2x² – 1) tại điểm có hoành độ bằng −1 vuông góc với nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 4[f(1)]² – 4f(1) – 5.

Huớng dẫn giải

∙ y = f(x⁴) Þ y' = (4x³).f '(x⁴)

Þ K₁ = y'(1) = 4.f '(1).

∙ y = x².f(2x² – 1) Þ y' = 2x.f(2x² – 1) + 4x³.f '(2x² – 1).

Þ K₂ = y'(1) = 2f(1) + 4f '(1).

Theo đề bài ta có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau nên K­₁.K₂ = −1

Û 4. f '(1).[2f(1) + 4f '(1)] = −1.

Đặt t = f'(1) Þ f(1) = \( - \frac{1}{{8t}} - 2t\)

Þ |f(1)| ≥ \(2\sqrt {\frac{1}{{8t}}.2t} = 1\)

Þ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(1) \le - 1}\\{f(1) \ge 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2f(1) - 1 \le - 3}\\{2f(1) - 1 \ge 1}\end{array}} \right.\)

Þ |2f(1) – 1| ≥ 1 Þ (2f(1) – 1)² ≥ 1.

Khi đó: T = [2f(1) – 1]² – 6 ≥ 1 – 6 = −5.

Vậy MinT = −5 khi f(1) = 1.