Cho các số thực a, b, c thỏa mãn c² + a = 18 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2.\) Tính P = a + b + 5c.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2} + bx - {c^2}{x^2}}}{{\sqrt {a{x^2} + bx} + cx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {a - {c^2}} \right){x^2} + bx}}{{\sqrt {a{x^2} + bx} + cx}} = - 2\)

Điều này xảy ra nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - {c^2} = 0\,\,(a,\,\,c > 0)}\\{\frac{b}{{\sqrt a + c}} = - 2\,\,(*)}\end{array}} \right..\)

Mặt khác ta cũng có c² + a = 18.

Lập hệ phương trình ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {c^2} + a = 0}\\{{c^2} + a = 18}\end{array}} \right.\)

Û c² = a = 9 Þ c = 3.

Thay a, c vào (*) Þ b = −12.

Vậy P = a + b + 5c = 12.