Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:

$(d_{1}) : y = - m x + m + 1, (d_{2}) : y = \frac{1}{m} x - 1 - \frac{5}{m}$ (với m là tham số khác 0).

Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $M (x_{M}; y_{M})$ là điểm cố định mà đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua. Ta có:

$y_{M} = - m x_{M} + m + 1$ với mọi m $\Leftrightarrow m (1 - x_{M}) + (1 - y_{M}) = 0$ với mọi m

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - x_{M} = 0 \\ 1 - y_{M} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = 1 \\ y_{M} = 1 \end{cases}$

Vậy đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua điểm $M (1; 1)$ cố định.

Giả sử $N (x_{0}; y_{0})$ là giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ . Khi đó:

$\{\begin{cases} y_{0} = - m x_{0} + m + 1 \\ y_{0} = \frac{1}{m} x_{0} - 1 - \frac{5}{m} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y_{0} - 1 = m (1 - x_{0}) (1) \\ y_{0} + 1 = \frac{1}{m} (x_{0} - 5) (2) \end{cases}$

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:

$(y_{0} + 1) (y_{0} - 1) = (1 - x_{0}) (x_{0} - 5) \Leftrightarrow y_{0}^{2} - 1 = - x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 5 \Leftrightarrow {(x_{0} - 3)}^{2} + y_{0}^{2} = 5$

Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có $I N = \sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + y_{0}^{2}} = \sqrt{5}$ không đổi.

Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{5}$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Xem đáp án

Lời giải

b) Gọi $A^{'}, B^{'}$ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.

b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB. (ảnh 1)

Ta có: $S_{Δ O A B} = S_{A A^{'} B^{'} B} - S_{Δ O A A^{'}} - S_{Δ O B B^{'}}$

$A^{'} B^{'} = |x_{B^{'}} - x_{A^{'}}| = x_{A^{'}} - x_{B^{'}} = 5, A A^{'} = y_{A} = 4, B B^{'} = y_{B} = 9$

Ta có: $S_{A A^{'} B^{'} B} = \frac{A A^{'} + B B^{'}}{2} . A^{'} B^{'} = \frac{9 + 4}{2} .5 = \frac{65}{2}$ (đvdt)

$S_{Δ O A A^{'}} = \frac{1}{2} A A^{'} . O A^{'} = \frac{1}{2} .4.2 = 4$ (đvdt)

$S_{Δ O B B^{'}} = \frac{1}{2} B B^{'} . O B^{'} = \frac{1}{2} .9.3 = \frac{27}{2}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác OAB là: $S_{Δ O A B} = S_{A A^{'} B^{'} B} - S_{Δ O A A^{'}} - S_{Δ O B B^{'}} = \frac{65}{2} - 4 - \frac{27}{2} = 15$ (đvdt).

Câu 2

Trong mp tọa độ Oxy có parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) y = (m + 2)x + 3. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

b) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = - 3 \end{cases}$

Để $x_{1}, x_{2} \in ℤ$ mà $x_{1} x_{2} = - 3$ nên $\{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 3 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = - 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = - 3 \\ x_{2} = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 3 \end{cases}$

Suy ra $[\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} + x_{2} = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 2 = 2 \\ m + 2 = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 4 \end{array}$

Vậy với m = 0 hoặc m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

Câu 3