Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:

$(d_{1}) : y = - m x + m + 1, (d_{2}) : y = \frac{1}{m} x - 1 - \frac{5}{m}$ (với m là tham số khác 0).

Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $M (x_{M}; y_{M})$ là điểm cố định mà đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua. Ta có:

$y_{M} = - m x_{M} + m + 1$ với mọi m $\Leftrightarrow m (1 - x_{M}) + (1 - y_{M}) = 0$ với mọi m

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - x_{M} = 0 \\ 1 - y_{M} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = 1 \\ y_{M} = 1 \end{cases}$

Vậy đường thẳng $(d_{1})$ luôn đi qua điểm $M (1; 1)$ cố định.

Giả sử $N (x_{0}; y_{0})$ là giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ . Khi đó:

$\{\begin{cases} y_{0} = - m x_{0} + m + 1 \\ y_{0} = \frac{1}{m} x_{0} - 1 - \frac{5}{m} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y_{0} - 1 = m (1 - x_{0}) (1) \\ y_{0} + 1 = \frac{1}{m} (x_{0} - 5) (2) \end{cases}$

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:

$(y_{0} + 1) (y_{0} - 1) = (1 - x_{0}) (x_{0} - 5) \Leftrightarrow y_{0}^{2} - 1 = - x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 5 \Leftrightarrow {(x_{0} - 3)}^{2} + y_{0}^{2} = 5$

Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có $I N = \sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + y_{0}^{2}} = \sqrt{5}$ không đổi.

Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{5}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Xem đáp án

Lời giải

b) Gọi $A^{'}, B^{'}$ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.

b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB. (ảnh 1)

Ta có: $S_{Δ O A B} = S_{A A^{'} B^{'} B} - S_{Δ O A A^{'}} - S_{Δ O B B^{'}}$

$A^{'} B^{'} = |x_{B^{'}} - x_{A^{'}}| = x_{A^{'}} - x_{B^{'}} = 5, A A^{'} = y_{A} = 4, B B^{'} = y_{B} = 9$

Ta có: $S_{A A^{'} B^{'} B} = \frac{A A^{'} + B B^{'}}{2} . A^{'} B^{'} = \frac{9 + 4}{2} .5 = \frac{65}{2}$ (đvdt)

$S_{Δ O A A^{'}} = \frac{1}{2} A A^{'} . O A^{'} = \frac{1}{2} .4.2 = 4$ (đvdt)

$S_{Δ O B B^{'}} = \frac{1}{2} B B^{'} . O B^{'} = \frac{1}{2} .9.3 = \frac{27}{2}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác OAB là: $S_{Δ O A B} = S_{A A^{'} B^{'} B} - S_{Δ O A A^{'}} - S_{Δ O B B^{'}} = \frac{65}{2} - 4 - \frac{27}{2} = 15$ (đvdt).

Câu 2

Trong mp tọa độ Oxy có parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) y = (m + 2)x + 3. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

b) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = - 3 \end{cases}$

Để $x_{1}, x_{2} \in ℤ$ mà $x_{1} x_{2} = - 3$ nên $\{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 3 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = - 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = - 3 \\ x_{2} = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 3 \end{cases}$

Suy ra $[\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} + x_{2} = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 2 = 2 \\ m + 2 = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 4 \end{array}$

Vậy với m = 0 hoặc m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

Câu 3